なぜBHがsa+(t-1)bになるのかがわかりません。（AHも同様） 一つ前の問題（例題24）では1-tを利用し問題を解いていたんですがなぜ今回の問題ではt-1を利用して解くんですか？

0 基本例題 25 垂心の位置ベクトル 平面上に△OAB があり, OA = 5,OB=6, AB=7 とする。 また, △OABの垂 心をHとする。なる2点A,Bをとる。 (1) cos ∠AOB を求めよ。 2 (2) OA=4,OB=とするとき, OH を a, ♂ を用いて表せ。 指針▷ 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, △OABの垂心 Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。 (2) では OH = sa+tとし, OA・BH = 0, OB･AH=0の2つの条件から,s,tの値を求める。 とし、 OX 解答 (1) 余弦定理から DEFELETEO COS ∠AOB= VAN Hは垂心であるから OA⊥BH, OB⊥AH OH = sa+t(s,t は実数)とする。 +8= OA⊥BH より OA･BH=0 である 119 à•{sa+(t-1)}=0 (2)(1) から ･ = |a||5|cos∠AOB=5・6･ =6集 5 △OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと 一致することはない。 から よって ゆえに すなわち 25s+6t=6 また, OB ⊥AHよりOB･AH = 0 であるから ZXAB よって ゆえに ① ② から したがって sla+(t-1) a1=00-0000 25s+6(t-1)=0 S= 52+62-72 2･5･6 5 24' ...... 【 t= ・{(s-1)a+t6}=0 (s-1)ã•b+t|b²=0 6(s-1)+36t=0 すなわち s +6t=1 ・ 19 144 19 5 OH=2+1447 a+ 言 12 60 5 A 1-1/1/20 p.400 基本事項 ⑤ 重要 28 0 A 5A8+8¹Ã8.5=UA B H AB-01 TA [参考] AB=16-ak =161²-26-a+la1² |AB|=7, |a|=5,||=6で あるから 72=62-2 ・a +5² よって d.1=6 垂直→ (内積) = 0 BH-OH-OB ・B |a| =5, a-6=6 421 つく ①垂直 (内積) = 0 MAH=OH-OA 2a-6=6, 161=63 ① ② から 24s=5 SIC+SASTAA LA 1章 位置ベクトル、ベクトルと図形

なぜOH=sa＋tbとしてるんですか？

p 基本 例題 25 垂心の位置ベクトル 平面上に△OAB があり、OA=5,OB=6, AB=7 とする。 また, △OABの垂 00000 心をHとする。 (1) COS ∠AOB を求めよ。 (2) OA= a, OB = とするとき, OH を a, 1 を用いて表せ。 指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, 解答 △OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。 (2) では OH = sa+t とし, OA・BH=0, OB･AH=0 の2つの条件から,s,tの値を求める。 (1) 余弦定理から EDU COS ∠AOB= OA⊥BH より OA･BH=0 である から よって ゆえに 25s+6(t-1)=0 すなわち 25s+6t=6 ① また, OB ⊥AHよりOB･AH = 0 であるから {(s-1)a+t}=0 (s-1)ã·6+t|b²=0 したがって (2) (1) 5 à·b=|ā||5|cos <AOB=5.6.-= -=6 △OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと 一致することはない。 F 21-9 Hは垂心であるから OA⊥BH, OB⊥AH OH = sa + to (s,t は実数)とする。 A+8A CHORUSS 0 52 +62-72 2･5･6 S= a•{sa+(t-1)}=0 tsasaH slal²+(t-1)ã·b=0C=100 よって ゆえに 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 19 ① ② から 1)-(2*4 144 5 24' OH= 12 1 60 5 t= A 5 → 2ä+ 196 a+ 24 144 = p.400 基本事項 ⑤ 631 B ------ A stronas 重要 28 [参考] AB=18- =161²-26-a+la1² H |AB|=7, |a|=5, ||=6で あるから 72=62-2 ・a +5² よって 1=6 18-TA ①垂直→ (内積) = 0 BH = OH-OB O |a| =5, a-6=6 ①垂直→ (内積) = 0 ■AH=OH-OA A HA①-②から 24s=5 HA& 2a-6-6, 161=63 3x+u+= B 421 4 位置ベクトル、ベクトルと図形 X

黒線で引いたところが分かりません。なぜ書く必要があるんですか？

垂心の位置ベクトル 基本例題 25 平面上に△OAB があり, OA=5,OB=6, AB = 7 とする。 また, △OABの垂 00000 心をHとする。 (1) COS ∠AOB を求めよ。 (2) OA=a, OB=6 とするとき, OH を a, を用いて表せ。 P-400 基本事項 [5] △OABの垂心に対して、OA⊥BH, OBIAH, ABIOH 指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり、 が成り立つ。 そこで, OA⊥BHといった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。 (2) では OH=sa+tとし, OA･BH=0. OB-AH=0の2つの条件から,s,tの値を求める。 (1) 余弦定理から COS ∠AOB= (2) (1) から 46=||||cos∠AOB=5・6・1/3=6 AOAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと 一致することはない。 Hは垂心であるから OH = sa+t6 (s, t は実数) とする。 OA⊥BH より OA･BH0 である から a. a {sa+(t-1)}=0 slaf+(t-1)a-6=0 よって ゆえに 25s+6(t-1)=0 したがって すなわち 25s +6t=6 ① また, OBIAH より OB･AH = 0 であるから OA⊥BH, OB⊥AH {(s-1)a+t6}=0 (S-1)ā.b+t|b²=0 S= 5 24' OH = ･･・・・･･・･・･･・・･･・・･ 5 24 5³ +6²-72 12 2･5･6 = 60 よって ゆえに 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 ... ①②から t= 19 144 a+ A 19 b 144 0 ******* - 1 5 6 A B 重要 28, [参考] [AB=16- =151-25-a+laf | |AB|=7,al=5, ||=6で あるから 7-6-26・a +5² よって.6=6 ① 垂直 (内積) = 0 <BH-OH-OB |a| =5, a-6=6 421 a-6-6, 161-6 B ①垂直→ (内積) = 0 ◄AH-OH-OA < ① ② から 24s=5 1章 4 位置ベクトル

この問題について、マーカー部分なのですが、なぜこれらのベクトルが0でないことを示す必要があるのでしょうか。

428 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+O+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 ( 2 (1) の点Hに対して, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH20G [類 山梨大〕 基本23 指針▷ (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点 ある。 AH+0, BC+0, BH+0, CẢ+00₫ A AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0 であるから,内積を利用して,A((内積) = 0] を計算により示す。 O は △ABCの外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。 CHART 線分の垂直(内積) = 0 を利用 解答 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。 このとき,外心Oは辺BC, CA 上 にはない。 ① OH = OA+OB+OC から AH-OH-OA=OB+OC ゆえに AH･BC = (OB+OC) (OC-OB) = |oc|-|OB|³=0 同様にして B A BH-CA=(OA+OC).(OA-OC) = |OA|-|OC|³=0 また①から AH=OB+OC+0, BH=OA+OC+0 よって, AH = 0, BC=0, BH = 0, CA ≠ 0 であるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 OA+OR+OC-120H から OH=3OG OB (2) OG= 3 3 ゆえにGH=OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=20G ! 基本 68 直角三角形のときは ∠C=90°とする。 このとき,外心は辺AB上 にある (辺ABの中点)。 IBCOC-OB (分割) △ABCの外心 0 OA=OBOC (数学A) 検討 外心, 重心,垂心を通る (この例題の直線OGH) を オイラー線という。 ただし, 正三角形は除く。 (1) から OA+OB+OC=OH

解答のOM⊥BCになる理由が分かりせん。教えてください💦

EBCに下ろした垂線を り,線分 CD が円の直径 p.406 基本事項 ① ② 円に関する定理や性質 (*) ある。) フェ 中点連結定理 コ点2つで平行と半分 DBC, ∠DACは半円の に対する円周角 問題は, △ABC が鈍角 三のときも成り立つ。 90° または ∠B=90° の 角形のときは (2) の四 できない。 利用)。 0 (TRIANO) も利用。 =∠CAHであ MAA 050 基本例題12 重心 外心垂心の関係 正三角形でない △ABCの重心G,外心O,垂心Hは一直線上にあって,重心は 外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお, 基本例題 71 の結果を利用してもよい。 p.406, 407 基本事項 ①1, ②, ④4 指針 証明することは,次の [1], [2] である。 [1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。 これを示すには,直線 OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線 AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。 [2] 重心 G が線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。 AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 …… すなわち 練習 . 右の図において,直線 OH と △ABC の 中線 AMとの交点を G′ とする。 AH⊥BC, OM IBCより, AH// OM であるから AG' G'M=AH : OM 72 =20M:OMBI B MAD" +4BD"-2A (G) =2:1 SBD ⓘ TAM は中線であるから, G′ は△ABC の重心G と一致する。 よって,外心 0,垂心 H, 重心Gは一直線上にありA HG : OG = AG:GM=2:1> OG:GH=1:2 OPT" # C=AD'+12 検討 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係 心,外心の性質から。 0. GH U18 08,201 2009 基本例題71 の結果から。 M A ①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 72)。 円劇・阿 ②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習70) 内 ③ 正三角形の外心,内心,重心,垂心は一致する (練習 71)。 したがって, 正三角形ではオイ ラー線は定義できない。 Acti (1) 検討 (この例題の直線OH) を 外心,重心,垂心が通る直線 オイラー線という。ただし 正三角形ではオイラー線は定 義できない。下の 検討 ③ 参 照。 (1) PUTO DAA △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする Oは 413 3章 10 三角形の辺の比、五心

全体的には三角形の垂心Hをベクトルを用いて証明する過程を詳細に教えてもらいたいです。(①) ネットで色々調べましたが、どれも写真1にある位置ベクトル性質を利用していました。そもそも、その証明もわかりません。(②)また、これに関連した式が写真3枚目にあります。そちらもどう導く... 続きを読む

原点を0とし, △ABCの頂点 の位置ベクトルを各々A (d) B (6) C() とするとき OX =Đã + gỗ trẻ p+q+r B, P R (p, q, r>0) 9 A X "P q

青チャート⑴解説下から4,5行目 ①から「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」といえるのが何故なのか分かりません。もし①の条件がなくOがBC,CA上にあったらどうなるのですか？ また先程の「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」がいえると「AHベクトル≠0ベクトル」「BH... 続きを読む

00000 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1) の点Hに対して,3点O,G,Hは一直線上にあり GH=20G Sint flyta [類 山梨大 ] 基本23 基本68 SHU 指針▷(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で OK-ある。 BHOJE AH 0, BC ¥0, BH ¥0, CA ¥0 のとき OA上への ...... (A) AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0 内積を利用して, ⑩ ((内積)=0] を計算により示す。 とは△ABCの外心であるから 10A-10 |OA|=|OB|=|OČ| も利用。 MAA CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 MOTSTAND この長さと同分 であるとい 解答 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。 このとき,外心O は辺BC, CA 上 にはない。 このとき, 外心は辺AB上 ① にある (辺ABの中点)。 OH=OA+OR+OCから 10+800) AH-OH-OA=OB+OC B A ゆえに AH･BC A (50 =(OB+OC) (OC-OB) = |COC-OB (分割) = 40A = |OC|²—|OB|²=0 0-51ABCの外心 0 → 同様にして メ5-0 BH・CA=(OA+OČ)・(OA-OC) = OẢI—|OCI=0 - -1-5-JA また①から AH=OB+OČ=0, BH=OA+OC≠0 ¥0, ときによって、AH, BC BH CAであるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA 点Hは△ABC の垂心である。 したがって, Jos ならば OA+OB+OC=/OH から OH=30G -+* (2) OG= 3 ゆえに GH = OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり 10 GH=20G 428 OH-OA = OB + OC are 5+₂09 初めて、 a·b=0" いえる!!! CLO A OA=OBOC (数学A) 検討 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線という。 ただし、正三角形は除く。 POSTO (1) から OA + OB+OC=OH BASA+SA

正直、全然わからないです！どうか詳しく教えてください！

T 基 本 例題 75 座標を利用した証明 (2),垂心 基本 73 座標平面上の3点O(0, 0), A(2,5),B(6, 0) を頂点とする △OAB の各頂 点から対辺に下ろした3つの垂線は1点で交わることを証明せよ。 CH CHARTO SOLUTION 3直線が1点で交わることを証明するには, 2直線の交点が第3の直線上にある ことを示すのが一般的 (p.121 基本例題 76(2)) であるが,本問では, △OAB の頂 点Aから対辺に下ろした垂線が直線x=2となるから, 頂点 0, B から対辺に下 ろした垂線と直線x=2 の交点をそれぞれ求め、それらが一致することを示せば よい｡ ......!! 解答 0-5 5 直線AB の傾きは yA 6-2 4 5 よって、頂点Oから対辺ABに下ろ した垂線 OC の方程式は y= (1) ◆垂直⇔傾きの積が1 Q HE B 直線OCの傾きをと 5 とす 0 2 6 x また、直線OA の傾きは A HLA)SAT 2 すると2-1-) よって, 頂点Bから対辺 OAに下ろした垂線 BD の方程式は 4 よって m= 12 5 y0=-- (x-6) すなわちy=-2. :+ 2 5 5 頂点Aから対辺 OBに下ろした垂線 AE の方程式は (2) x = 2 ...... ③ ①① に x=2を代入すると 8 •2= 5 ①と③の交点のy座標 ②にx=2を代入すると -12/2-2 + 1/²2 - 03/0 8 y=- 5 5 5 ②と③の交点のy座標 ゆえに,3直線①,②,③は1点 (2, 2 ) で交わる。 したがって, △OAB の各頂点から対辺に下ろした3つの垂線 は1点で交わる。 inf. 一般に,三角形の 15 つの頂点から,それぞれ 対辺に下ろした垂線は1点 で交わる。この交点を,そ の三角形の垂心という。 3x+y+3=0 PRACTICE･・・･ 75 ② xy平面上に3点A(2,-2), B(57),C(6, 0) がある。△ABC 線は1点で交わることを証明 120 D C

位置ベクトルの問題です。 赤くマークしているところがわかりません！ ベクトル苦手なので丁寧な解説お願いします‼︎

基本 例題30 線分の垂直に関する証明 OOO00 △ABC の重心をG, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。日AA (1) OA+OB+OC=OH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G 【類山梨大) 基本 23 基本 68 音針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で ある。 AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 のとき AHIBC, BH」TA → AH·BC=0, BH·CA=0 であるから,内積を利用 して, ④ [(内積)30] を計算により示す。 0は△ABC の外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。 1日 の CHART 線分の垂直(内積) %3D0 を利用 間( TSHAH 解答 (1) ZAキ90°,ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+O¢ ゆえに AH-B =(OB+OC)-(OC-OB) OAN=OCP-10BF=0 A (直角三角形のときは 2C=90° とする。 このとき, 外心は辺 AB上 にある(辺 AB の中点)。 0 0 R+0 B るで関こD点 a BC=OC-OB (分割) 0- 1AABCの外心0→ OA=OB=0C(数学 A) AJ 同様にして 38すさう-1 BH-CA=(OA+OC)· (OA-OC) =|OAF-|OCf=0 AH=OB+OC+0, BH=OA+O¢+0 SA 検討) また, ①から よって, AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BH CA すなわち AHIBC, BHLCA したがって,点Hは△ABCの垂心である。 (2) oG= _1OH から OH=30G 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH)を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 OA+OB+OC =OH から OH=30G (1) から- OA+OE+OC=oH A+8A 3 ゆえに GH=OH-OG=20G よって,3点0, G, Hは一直線上にあり OAN+OO+ GH=20G

数B 位置ベクトルです。 (2)の解説の5行目でsとtはどこのことを指すのですか？

基本 例題25 垂心の位置ベクトル 平面上に AOABがあり,OA=5, OB=6, AB=7 とする。また, △OAB の垂 421 OOOO0 小題24 心をHとする。 ) cos ZAOBを求めよ。 XA=4, OB=6とするとき, OH をa, ōを用いて表せ。 p.400 基本事項回 重要28 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, AOAB の垂心Hに対して、OAIBH, OBIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで,OAIBH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。(2)では OH=sā+tb とし, OA-BH=0, OB-AH=0 の2つの条件から, s, tの値を求める。 1章 4 H A 'B それ 解答 52+6°-72 12 1 (1) 余弦定理から coS ZAOB= 参考 |ABP=5-āP ーパ-25-6+2P IABI=7, āl=5, =6で あるから 7°=6°-25·ā+5° よって a5=6 60-。 三 2.5-6 5 (2) (1) から 1 a5=a||||cos ZAOB=5·6·==6 5 A0AB は直角三角形でないから,垂心Hは2点 A, Bと 一致することはない。 Hは垂心であるから OH=sa+tó (s, tは実数)とする。 『 OAIBHより OA·BH=0 である a-(sa+(t-1))=0 slaf+(t-1)a-5=0 OAIBH, OBIAH 0 垂直→ (内積)%3D0 (BH=OH-OB UD から よって a=5, à-5=6 B 25s+6(t-1)=0 の ゆえに A すなわち 25s+6t=6 O 垂直→(内積)3D0 また,OBIAHより OB·AH=0 であるから 6-((s-1)G+5)=0 (s-1)a-5+t5=0 AH=OH-OA よって -5-6, =6 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 19 ゆえに 4O-2から 0, 2から 5 S= 24 24s=5 t= 144 195 a+ 144 5 したがって OH= また。 位置ベクトル、ベクトルと図形