EBCに下ろした垂線を
り,線分 CD が円の直径
p.406 基本事項 ① ②
円に関する定理や性質 (*)
ある。)
フェ
中点連結定理
コ点2つで平行と半分
DBC, ∠DACは半円の
に対する円周角
問題は, △ABC が鈍角
三のときも成り立つ。
90° または ∠B=90° の
角形のときは (2) の四
できない。
利用)。
0
(TRIANO)
も利用。
=∠CAHであ
MAA
050
基本例題12 重心 外心垂心の関係
正三角形でない △ABCの重心G,外心O,垂心Hは一直線上にあって,重心は
外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお,
基本例題 71 の結果を利用してもよい。
p.406, 407 基本事項 ①1, ②, ④4
指針 証明することは,次の [1], [2] である。
[1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。
これを示すには,直線 OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線
AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。
[2] 重心 G が線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。
AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。
……
すなわち
練習
.
右の図において,直線 OH と △ABC の
中線 AMとの交点を G′ とする。
AH⊥BC, OM IBCより, AH// OM
であるから
AG' G'M=AH : OM
72
=20M:OMBI
B
MAD" +4BD"-2A
(G)
=2:1
SBD ⓘ
TAM は中線であるから, G′ は△ABC の重心G と一致する。
よって,外心 0,垂心 H, 重心Gは一直線上にありA
HG : OG = AG:GM=2:1>
OG:GH=1:2
OPT"
#
C=AD'+12
検討 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係
心,外心の性質から。
0. GH U18 08,201
2009
基本例題71 の結果から。
M
A
①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 72)。 円劇・阿
②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習70) 内
③ 正三角形の外心,内心,重心,垂心は一致する (練習 71)。 したがって, 正三角形ではオイ
ラー線は定義できない。
Acti
(1)
検討
(この例題の直線OH) を
外心,重心,垂心が通る直線
オイラー線という。ただし
正三角形ではオイラー線は定
義できない。下の 検討 ③ 参
照。
(1)
PUTO DAA
△ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする
Oは
413
3章
10
三角形の辺の比、五心
