Question

大学1年生

青チャート⑴解説下から4,5行目

①から「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」といえるのが何故なのか分かりません。もし①の条件がなくOがBC,CA上にあったらどうなるのですか？

また先程の「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」がいえると「AHベクトル≠0ベクトル」「BHベクトル≠0ベクトル」がいえるのは分かるのですが、「BCベクトル≠0ベクトル」「CAベクトル≠0ベクトル」も同時にいえるのは何故ですか？

00000
基本例題 30 線分の垂直に関する証明
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。
(1) OA+OB+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。
(2)(1) の点Hに対して,3点O,G,Hは一直線上にあり GH=20G
Sint flyta
[類 山梨大 ]
基本23 基本68
SHU
指針▷(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
OK-ある。
BHOJE
AH 0, BC ¥0, BH ¥0, CA ¥0 のとき
OA上への
......
(A)
AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0
内積を利用して, ⑩ ((内積)=0] を計算により示す。
とは△ABCの外心であるから
10A-10
|OA|=|OB|=|OČ| も利用。
MAA
CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用
MOTSTAND
この長さと同分
であるとい
解答
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
(1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。
このとき,外心O は辺BC, CA 上
にはない。
このとき, 外心は辺AB上
①
にある (辺ABの中点)。
OH=OA+OR+OCから
10+800)
AH-OH-OA=OB+OC
B
A
ゆえに AH･BC
A
(50
=(OB+OC) (OC-OB)
=
|COC-OB (分割)
=
40A = |OC|²—|OB|²=0
0-51ABCの外心 0 →
同様にして
メ5-0
BH・CA=(OA+OČ)・(OA-OC)
= OẢI—|OCI=0
-
-1-5-JA
また①から
AH=OB+OČ=0, BH=OA+OC≠0
¥0,
ときによって、AH, BC
BH CAであるから
AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA
点Hは△ABC の垂心である。
したがって,
Jos
ならば
OA+OB+OC=/OH から OH=30G -+*
(2) OG=
3
ゆえに GH = OH-OG=2OG
よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり 10 GH=20G
428
OH-OA
= OB + OC
are
5+₂09
初めて、
a·b=0"
いえる!!!
CLO
A
OA=OBOC (数学A)
検討
外心,重心,垂心を通る直線
(この例題の直線 OGH) を
オイラー線という。
ただし、正三角形は除く。
POSTO
(1) から
OA + OB+OC=OH
BASA+SA

Answer 1

しゃか

1のベクトルを変形すると、その形を作ると言うのは右端に書かれているとおりです。
OH-OA=OB+OC
AH=OB+OC
となりますので。①の条件がなく、BC,CA上の場合にある場合ですと、外心を中心とする直角三角形が描けるとおもいます。左図にあるCが90度がA,Bの場合も起こり得ると言うことです。
ただ、A、B、Cいずれかの角で90度の場合を考慮しておけば、一般性は失われないので(A,B,Cを入れ替えても大丈夫なので)このような記述となっています。

またBCが0ベクトルということはbcが長さを持たなくなり、三角形ではなくなります。直線ABやACとなるでしょう。なので、三角形を考える以上、ゼロベクトルはありえないということです。