答えはあるのですが、解き方がわかりません。 過程を教えて欲しいです。

24 総合演習 1 107zは0 < argz < π | Try を満たす複素数とし,複素数平面上の3点O(0), A(1),B(z) を頂点とする 1+√3 i 2 △OAB を考える｡ また, α = (1) α²-α +1の値を求めよ。 (2) wをzとαを用いて表せ。 とする。 OB に関して点Aと反対側に, △POB が正三角形になるようにとる。複素数 P(w),直線 ✓) N² N +/- (+2√31-3 (3) 点Q(z +α -αz) に対し, △ABQは正三角形であることを示せ。 (4) arg (z+α-az) を求めよ。 ただし, 偏角の範囲は0 以上 2 未満とする。 (広島大)

解き方を教えて欲しいです

(1) 107z は 0 < argz < π を満たす複素数とし,複素数平面上の3点O(0), A(1),B(z) を頂点とする 2 △OAB を考える。 また, α = (1) α²-α+1の値を求めよ。 (2)P(w) , 直線 OB に関して点Aと反対側に, APOB が正三角形になるようにとる。複素数 wをzとαを用いて表せ。 1+√3 i 2 とする。 (3) 点Q(z+α-αz) に対し, △ABQは正三角形であることを示せ。 z+a-az (4) arg (2 w-1 を求めよ。 ただし,偏角の範囲は0以上 2 未満とする。 (広島大)

鉛筆で線を引いた部分を教えてください！

147 x+my-2m-2=0....... ② (1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る, A,Bの座標を求めよ. Q (2) ①,②は直交することを示せ . (3) ①② の交点の軌跡を求めよ. mを実数とする, ry平面上の2直線 mx-y=0…. ①, について,次の問いに答えよ. (1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので, 「m について整理」して, 恒等式です。 (2) 36 で勉強しました. ② が 「y=｣の形にできません。 (3) ①,②の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか なり大変です。したがって,(1),(2)をうまく利用することになりますが、 Ⅲを忘れてはいけません。 精講 解答 (1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0 . A(0, 0) ②より(y-2)+(x-2)=0 だから :. B(2, 2) (2) m・1+(-1).m=0 だから, ①,②は直交する. (3) (1),(2)より①,②の交点をPとすると ① 1② より,∠APB=90° よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A, Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中 心は ABの中点で (1, 1) <mについて整理 36 AZ 2 x また,AB=2√2 より半径は √ 2 よって, (x-1)^2+(y-1)²=2 ここで, ①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する ことはないので, 点 (0, 2) は含まれない. よって, 求める軌跡は 円 (x-1)2+(y-1)^2=2 から,点(0, 2) を除いたもの. 注 一般に,y=mx+n 型直線は, y軸と平行な直線は表せません. それは,yの頭に文字がないので,yが必ず残って, x=kの形にでき ないからです. 逆に, xの頭には文字 m=0 を がついているので, 代入すれば,y=n という形にでき, 軸に平行な直線を表すことが できます. 参考 45 の要領で①, ② の交点を求めてみると 2(1+m) 1+m² y= 2m(1+m) 1+m² x= となり, まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける こともタイヘンです. しかし,誘導がなければ次のような解答ができます. x=0のとき, ① より m=y IC ②に代入して,z+y_y_2=0 I I 演習問題 47 YA 2 x2+y2-2y-2x=0 .. (x-1)^2+(y-1)²=2 次に, x=0のとき, ①より, y = 0 O これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので, 点 (0, 0) は適する. 以上のことより, ①, ② の交点の軌跡は円 (x-1)^2+(y-1)2=2 から点 (02) を除いたもの. ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は, ある円周上にある. その際, 除外点に注意する HY tを実数とする. xy平面上の2直線l:t-y=t, m:x+ty=2t+1 について, 次の問いに答えよ. (1) t の値にかかわらず, l, m はそれぞれ, 定点A, B を通る. A,Bの座標を求めよ. (2) 1, m の交点Pの軌跡を求めよ. 第 JmK SOR

積分の問題です。 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 125 水の問題 放物線の一部y=x² (0≦x≦2) をy軸のまわ りに1回転してできる容器 (右図) がある.ただし, 目盛り1を1cmとする. この容器の上方から, 毎 秒2cm の割合で水をゆっくりと注ぐとき、次の 問いに答えよ. (1) 水面の高さがhcmのとき (0<h≦4), 注がれ た水の体積を求めよ. 精講 ① 水が満杯になるまでにかかる時間工を求めよ. (%) 水面の高さが2cmのとき, 水面の上昇する速度を求めよ. (2) 7= (1) この容器はy軸まわりの回転体ですから 116 の公式を使 います。 容器の体積 2 で求まります. (3) 速度とは何でしょうか? 速度= YA O 距離 と習いましたが,これでは平均し 時間 た速度になってしまい, 「水面の高さが2cmのとき｣ という瞬間の速度には なりません。この容器の場合, 常識的にも, 水面の高さが高くなるほど水 面はゆっくりと上がっていくはずですから, 水面の高さによって, 水面の上 昇する速度は異なります. そこで,次の性質を利用します。 速度 tで微分 tで微分 位置 tで積分 tで積分 この関係式で,「位置」って何だろうと思うかもしれませんが,y軸という 数直線上で点 (0, h) が動点と考えれば, んのことであることがわかります。 加速度 分 (積分) しなければならない点です. そして,この考え方の最大の注意点は,上の図にもあるように, 時刻tで微 v=x["x²dy=n" ydy=7³/2=7h² (cm²) (1) 単位 「cm」を忘れないように . 注 (2) 水が満杯のときの体積は (1) の結果に h=4 を代入して,87cm よって, (3) V= 1=²より、 2= πh. 参考 T= =4π (秒) dV ここで, -=2 だから dt 8π 2 ポイント dV_dvdh dt dhdt cm」 の 演習問題 125 dh dt h=2のときの速度だから, dV -= πh dh 解答 dh 1 TC 2 πh 125 において時刻 164 注1 dh 2 dt πh 確かに, 面がゆっくり上昇することを示しています。 の,すなわち, dt ◆体積が増加する速度を意味するので この問題では,2cm²/秒 (cm/秒) の値はんの値が大きくなるほど小さくなります。 号に 231 (3) で予想したように、 水深が深くなるほど, 水 の変化する速度とは 時刻で微分したも d 注 問題文の中に 「tがない」 と思う人もいるかもしれませんが 「毎秒2 中に含まれています. における水面の上昇速度をTを用いて表せ。 第6章

積分の体積の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 226 123 回転体でない体積(ⅡI) 2⑦ 次の問いに答えよ. 12 (1) 定積分 1fpdt を求めよ。 (2) 不等式 z'+y2+log (1+22) log2 ......(*) で表される立体Dにつ いて (ア) 立体Dを平面 z=tで切ることを考える. このとき, 断面が存在 するような実数十のとりうる値を求めよ. (イ)(ア)における断面積をS(t) とする. S(t) をtで表せ. 立体Dの体積Vを求めよ. (ウ) 第6章積分法 精講 (1) 分数関数の定積分は,次の手順で考えます。 ① ｢分子の次数<分母の次数｣ の形へ ② f(x) ③②の形でなければ、 分母の式を見て 因数分解できれば, 部分分数分解へ (89 因数分解できなければ, tan0の置換を考える (90) (2) 立体Dの形が全くわかりませんが, 122 によれば断面積を積分して求めら れます。 だから立体の形がわからなくても、断面積が求まれば体積は求めら れるのです.そのときの定積分の式を求める作業が(イ)で, 定積分の範囲を求 める作業が(ア)になっています。 1+t2 "'(x) 解 答 (1) Softpdt=f'(1-14ps) at=1-So1tradt 1+t2 ここで, Softpdt において,t=tan0 とおくと 90(1) = S₁³ do = 7 4 -dxの形を疑う (89) 1+t2 t0→1 dt TL 1 do 00-E docosey だから、∫otpad="1+lando cos2d よって,Strat=1- 1+t2 π (2) (ア) (*) z=t を代入して ²+y² ≤log2-log(1+t²) ......① この不等式をみたす実数工、リが存在するこ これが断面が存在す とから, るということ log2-log (1+t²) ≥0 2≥1+t² = 1²≤1 " -1≤t≤1 立体Dの平面 z=t (-1≦t≦1) による断面はxy平面上の不等 式①で表される図形で,これは (半径) が log2-10g(1+1)の円の (イ) 周および内部を表すので 22² +7² {/² S(t)=z{log2-log(1+t)} (→) V=r{log 2-log(1+t²)}dt =2zf"{log2-10g(1+t)}dt =2zlog2-2x(t)'log(1+t)dt =2xl0g2-2x|tlog(1+t)+ 25 24 psdt 21² =4nf1+₁ dt-4(1-4)=(1-x) 4π 1+t2 2 ポイント 演習問題 123 ◆これが z=tで切る ということ 227 <S(t) は偶関数 87 (1) 部分積分 2 注∫_{log2-log(1+t^2)}dt = f_log1fFdtと変形してしまうと 定積分は厳しくなります。 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって ⅡI. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて ⅢI.ⅡIの断面積を積分する y≧0≦z≦1で表され 4つの不等式x+y-z, る立体Dについて,次の問いに答えよ. (1) 立体Dの平面 z=t による断面の面積S(t) をtで表せ. (2) 立体Dの体積Vを求めよ. 79 第6章

積分の体積の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

224 第6章積分法 122 回転体でない体積(I) XC 底面が半径①の円で高さ 1の円柱がある.この円柱を底面の円の直径 AB を含み, 底面と45°の角度をなす平面で切ると, 大, 小2つの立体に 分かれる。このとき小さい方の立体の体積を求めよ 今回は回転体でない立体の体積ですが,基本的には回転体の体積と 1 において 同じ考え方です. たとえば, 116 の V₁=1 =xf (f(x)}dx という式がかいてありますが、π(f(z))とは、 半径f(z) | の円の面積のことです. すなわち, 立体図形を回転軸に垂直な平 精講 面で切ったときの断面積です. だから, 軽いタッチでいえば, 体積は (断面積) dx で表せる わけです。この考え方を使って体積を求めますが,立体をどこで切るかを判断 するとき,断面積が求められるような切り方をしないといけません。 A. <図1> 0 45° 1 B 解答 <図II> O B DC y (II) ² 1-t² 底面の円の中心を原点Oとし, AB方向に軸を定める. すなわち, A(-1, 0), B(1, 0) とする. 次に、小さい立体の底面の半円の弧がy≧0の領域にあるように軸 をとる. 〈図ⅡI> このとき, (t, 0) (-1≦t≦1)を通り, x軸に垂直な平面で切ると, その断面は, 〈図Ⅲ〉のような直角二等辺三 その面積をSとすると, S=12 (1-1) v-fsdt=20-dt-fa-a V= =1- 注 基準軸のとり方は1通りとは限りません. ちなみに、この立体の 自場合,軸の方を基準軸にしても体積は求められます。(別解 (図IV> (別解) 点 (0, t) (0≦t≦1) を通り、軸に垂 直な平面で切ると断面は〈図Ⅳ>のような長方 形で,その面積は2tv1ーゼ :. V=S2t√/1-P² dt ポイント だから, 演習問題 122 =-fa-ty√1-² dt =- [ ²3 (¹1-1²) ²1' = ²/3 225 ハード 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって Ⅱ. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて III.ⅡIの断面積を積分する xy平面上に円C:x2+y^2=1 がある.軸上の点T (t, 0) (-1≦t≦1) を通り,x軸に垂直な円Cの弦を PQ とする. このと き、PQを1とする正三角形 PQR を ry平面に垂直になるよう につくる. 次の問いに答えよ. 19 (1) △PQR の面積Sをtで表せ. (2) tが1から1まで動くとき, PQR がつくる立体の体積V 第6章

積分の問題です。 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 220 第6章 積分法 120 回転体の体積 (V) 曲線 y= (vi-va) (x≧0, a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=α によって囲まれた部分を直線y=a のまわりに 1回転してできる体積を求めよ. (1) 75 をもう一度読みかえしてみましょう. 今回は, 極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります. .......... それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2)今まで学んだ回転体の体積は、回転軸がx軸かy軸でした。今回は、y=a です.いったいどのように考えればよいのでしょう。 目標は, 「回転軸をx 軸に重ねる｣ことです. 精講 (1) x>0 のとき y'=2(√x - √a). (√x - √a)=x^² (√x - √a) 1-√a =1- 解答 x→+0 ->0 I √a 2x√x よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな り, limy'=-8, limy =∞ よりグラフは右図. 218 0 ... a y' 4 a 0 + V 20 (2) 曲線と直線y=α の交点のx座標は (√x - √a)² = a√x - √√a = ± √a √x=0, 2√a :: x=0, 4a 8/4 a 10 x=0のとき､ y'の分母= 0 となるので a 注 limy' を調べているのは, y' が x=0 で定義されていない, すな x→+0 わち, 微分可能でないからです. このことは, グラフにおいて点 (0, a) でy軸に接するようにかかれている部分でいかされています。 IC 求める体積Vは〈図Ⅰ>の斜線部分を直線y=a のまわりに回転させ! た立体の体積だから、この図形を軸の正方 向に-4だけ平行移動した <図II〉の斜線部 (141) 分をx軸のまわりに回転すればよい。 "". V=1 = πf^^{(√x - √a)²-a³dx = n₁²(x-²√a √x)²dx 演習問題 120 *4α = nſ₁² (x² − 4√a x² + 4ax) dx ポイント x³ 8√a 5 5 8.25 = π[3³ = nα² (43 4³ 242 15 = ・+2・4 5+2.4²) -ла³(10-24+15) -x²+2ax² πa³ 14g YA 0 a 221 32 15 数学ⅡI・B48 ポイントによれば, 平行移動の公式は次の通り。 注 y=(√x-a-a y=f(x) をx軸の正方向にp,y軸の正方向に qだけ 平行移動すると, y-q=f(x-p) となる. Anx 回転軸がx軸やy軸でないとき, 平行移動して回転軸を軸や軸に重ねる (1411) 4 エ y=cosx のグラフと, 点 (0, 1) と点 (2m, 1 ) を結ぶ線分で囲ま れた領域を直線y=1のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ. 79 第6章

微分の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 第5章 微分法 148 81 微分法の不等式への応用 (1) <>0のとex> 1/2+x+1 が成りたつことを示せ。 (2) limx=0を示せ . (3) lim xlog.x=0 を示せ. +0 精講 (1) 微分法の不等式への応用は数学ⅡIB 96, 数学ⅡI・B 97 で学習 済みです。 考え方自体は何ら変わりはありません。 (2) 78,(3)は演習問題 79 にでています。 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) ⅡI. 間接的に与えてある (演習問題79) ⅢI.証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81) のいずれかの形態になっているのがフツウですが,たまに,そうでない出題も あります。 だから, この結果は知っておくにこしたことはありません. もちろん､証明 の手順もそうです. (1) や (2) 不等式の証明 (3) 極限という流れは 44,45で 学んだはさみうちの原理です. 解答 (1) f(x)=e³- (エ) (12/2+x+1) とおく. f'(x)=e*-(x+1), ƒ"(x)=e³-1 x>0のとき, ex>1 が成りたち, f"(x) >0 したがって,f'(x) は x>0 において単調増加. ここで,f'(0)=0 だから,x>0のときf(x) よって, f(r) は x>0 において単調増加. ここで, f(0)=0 だから, x>0 のとき、f(x)>0 ゆえに, x>0 のとき, e> ¹> {√x²+x+1 y=er上の点(0, 1) における接線を 参考 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=e²y=x+1 より上側にあります。だから, x>0 では >x+1, すなわち, f'(x) > 0 であることが わかります. (2) x>0 0²¾, (1)* _e²> {/x²+x+1> {/√ x ³² 0<x<²/2 …". 0<><>²+²x+2=0<<x+2+³ .. I lim (-tlogt)=lim += 0 t→+0 1-0 et また, lim (-tlogt)=lim (tlogt) t→+0 演習問題 81 lim -= 0 だから, はさみうちの原理より lim- 2 →∞ I 注解答では,+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように なります. t +0 ポイント く (3) (2)において, x=log / とおくと,t+0 のとき→∞ ‡t, e²= elox+= 1, x=-logt だから, t+0 limtlogt=0 すなわち, lim xlogx = 0) x→+0 lim -=0 I→∞ P (1) x>0 のとき (2) lim loga →∞ IC 2 log. X -= 0 を示せ . I -1 x>10gを示せ. 3/4 0 y=e* 149 y=x+1 lim -=0 lim xlog.x=0 I-00 x→+0 第5章

極限の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 90 第4章 極 51 数列・関数の極限(L)(b)別リアル) X X X X X ? L ① (2) BR る. (1) 一般項am をnで表せ. 数列 {an} は, a1= =1/12/1 .. (2) Sm= Can をnで表せ. k=1 精講 (n+2)an+1=nan (n=1,2, ･･･) をみたしてい (3) lim (S)" を求めよ.ただし, lim 11-00 典型的な極限の問題です. (1) は数学Bの範囲ですが, 漸化式のなかでは, 難しいほうに入りま す。(数学ⅡI・Bの基礎問では扱っていません) そこで,次のパターンを覚えておくことになります。 (an+1=f(n) an (f(n): 分数式) 型漸化式の解き方〉 2 (1+1 ) ² = e ak+1 ak (3)のただしがきにある 「lim (1+1/2)"= →∞ 72-00 -= =f(k) として,kに1,2,.., n-1 を代入して辺々かける。ただし =e」 は受験生が正しく使えない公式の 代表格ですが,大切な公式です。 使い方にコツがあるので, ポイントをよくみ てください 解答 (1) (n+2)an+1=nan より ak+1 k ak k+2 A₂ A³ a₁ az 1,2,.... n-1 を代入して, 辺々かけると n≧2のとき, 「い冷合わせるため を用いてよい。 an 1.23 an-1 3 4 5 n−2_n_l n n+1 an 2 = よって, as n(n+1) F-t, a== n(n+1) (a₁ = 1/29) これは,n=1のときも含むので, かけ終わりかけ 初めより, n-121 これから n≧2 辺々かける an n(n+1) (別解)(かなり速いのですが、理解しにくいかもしれません) (+2)an+1=nan の両辺に n +1 をかけると, (+2)(n+1)an+1=(n+1)nan ゆえに, 数列{(n+1) nan) は, 初項 2.1.a=1, 公比1の等比数列. よって, n(n+1)an=1 iha (2) (数学ⅡIB119) Sn= = ²₁R (k² + 1) = ² ( 1/² - x + 1) = 1 (3) (S.)-(1)-("+¹)*((₁+²) = tim (S.)*=lim{(1+2)^- 11-00 ポイント 演習問題 51 .. an= 1 (別解) (S)"=(1- 1) において,(n+1)=N とおくと, -N-1 △→∞ (S.)-(1+) -(1+)*(1 + 2 ) " - ((₁ + + ) * T * (₁ + 2 ) " N n→∞ のとき, N- ∞ だから, lim (S.)" =— Jim_{(1 + + )"}*(¹ + ) ¹ = 0 ²¹ = 1/ n→∞ e + (1) lim 1 n(n+1) =e (△はすべて同じもの) 次の極限値を求めよ. 2n no 2n+1) 1 n n+1 n+1 ² = = e = ¹ = ² ( (数学ⅡI・B64 指数の計算) 1 注 この公式は「△→±∞」で成りたちます. 0 91 (2) lim (1+- 71-00 2n 第4章

数学の標準問題精講の使い方を教えてください 精講の部分を読んでから問題解いた方がいいですか? あと一周目は標問だけ解いて二周目以降演習を解く、という形でも大丈夫ですか？