Question

涼風

積分の体積の問題です

黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問
226
123 回転体でない体積(ⅡI)
2⑦
次の問いに答えよ.
12
(1) 定積分 1fpdt を求めよ。
(2) 不等式 z'+y2+log (1+22) log2 ......(*) で表される立体Dにつ
いて
(ア) 立体Dを平面 z=tで切ることを考える. このとき, 断面が存在
するような実数十のとりうる値を求めよ.
(イ)(ア)における断面積をS(t) とする. S(t) をtで表せ.
立体Dの体積Vを求めよ.
(ウ)
第6章積分法
精講
(1) 分数関数の定積分は,次の手順で考えます。
① ｢分子の次数<分母の次数｣ の形へ
②
f(x)
③②の形でなければ、 分母の式を見て
因数分解できれば, 部分分数分解へ (89
因数分解できなければ, tan0の置換を考える (90)
(2) 立体Dの形が全くわかりませんが, 122 によれば断面積を積分して求めら
れます。 だから立体の形がわからなくても、断面積が求まれば体積は求めら
れるのです.そのときの定積分の式を求める作業が(イ)で, 定積分の範囲を求
める作業が(ア)になっています。
1+t2
"'(x)
解 答
(1) Softpdt=f'(1-14ps) at=1-So1tradt
1+t2
ここで, Softpdt において,t=tan0 とおくと 90(1)
= S₁³ do = 7
4
-dxの形を疑う (89)
1+t2
t0→1
dt
TL
1
do
00-E docosey だから、∫otpad="1+lando cos2d
よって,Strat=1-
1+t2
π
(2) (ア) (*) z=t を代入して
²+y² ≤log2-log(1+t²)
......①
この不等式をみたす実数工、リが存在するこ これが断面が存在す
とから,
るということ
log2-log (1+t²) ≥0 2≥1+t² = 1²≤1
"
-1≤t≤1
立体Dの平面 z=t (-1≦t≦1) による断面はxy平面上の不等
式①で表される図形で,これは (半径) が log2-10g(1+1)の円の
(イ)
周および内部を表すので
22² +7² {/²
S(t)=z{log2-log(1+t)}
(→) V=r{log 2-log(1+t²)}dt
=2zf"{log2-10g(1+t)}dt
=2zlog2-2x(t)'log(1+t)dt
=2xl0g2-2x|tlog(1+t)+ 25 24 psdt
21²
=4nf1+₁ dt-4(1-4)=(1-x)
4π 1+t2
2
ポイント
演習問題 123
◆これが z=tで切る
ということ
227
<S(t) は偶関数
87 (1)
部分積分
2
注∫_{log2-log(1+t^2)}dt = f_log1fFdtと変形してしまうと
定積分は厳しくなります。
回転体でない体積の求め方は
I. 基準軸をとって
ⅡI. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積
を求めて
ⅢI.ⅡIの断面積を積分する
y≧0≦z≦1で表され
4つの不等式x+y-z,
る立体Dについて,次の問いに答えよ.
(1) 立体Dの平面 z=t による断面の面積S(t) をtで表せ.
(2) 立体Dの体積Vを求めよ.
79
第6章