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「基本例題50 2次方程式の解の存在範囲
OOOO0
2次方程式 x-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数pの値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
p.81 基本事項2
指針>2次方程式x*-2px+p+2=0の2つの解を α, Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつ β-1>0
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3とB-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法(p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の別解参照。
2章
|解答
2次方程式x-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式
をDとする。
2-(-かー(p+2)=がーカー2=(カ+1)(ー2)
別解 2次関数
f(x)=x°-2px+p+2の
グラフを利用する。
D
解と係数の関係から
1) 21.8>1であるための条件は 一つaβがラじ可軸について x=p>1,
Dり かつ (α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>d"
D20から
α+B=2p, aB=p+2
f(1)=3-p>0
っから 2<か<3
(p+1)(p-2)20
*ーp y=f(x)
pS-1, 2Sp
(α-1)+(8-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カー2>0
よって
の
3- ap
よって
p>1
0
1
『B
(α-1)(B-1)>0すなわち aB-(α+B)+1>0 から
p+2-2か+1>0
よって
かく3
3
(2) f(3)=11-5p<0から
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
3の共通範囲をとって
-1
123 p
p>
2Sp<3
2) α<Bとすると, α<3<Bであるための条件は
(α-3)(B-3)<0
4題意から,α=βはありえ
ない。
すなわち
aB-3(α+B)+9<0
ゆえに
p+2-3-2か+9<0
11
か>
5
よって
2次方程式x-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数aの
50 値の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに2より大きい。
(2) 2つの解がともに2より小さい。
(3) 1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。
練習
(p.85 EX34
9 解と係数の関係、解の存在範囲
