数Ⅲの極限です。 (1)の[2]において、赤字の式変形がよくわかりません。解説お願いします。

例題127 2" すべての自然数nに対して、 +1 が成り立つことを証明せよ。 1 1/2 ² 1/2+1 k=1k 無限級数 1+ 13 1 H 数学的帰納法によって証明する。 22" とすると 2/1/27/2+1 n=1のとき 11/13 +…………+ このとき + k=1 (1) は 0 に収束するから,か.201 基本例題 117 のように, p.199 基本事項 ② ② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 ここで,m→∞ のときn→∞となる。 n 1 k=1k 2m 1 + ······ は発散することを証明せよ。 n 1 k=1k ① とする。 21-1+1-1+1 =1+₁ = 2m+1 51-5+1 2 2 ² 2 = 2 2 ² 2 + 1 € 2m+1 k k=1 k ることの証明 k VIJI k=1 k mm は自然数)のとき, ① が成り立つと仮定すると 2011/16+1 m k=2m+1 1 2m+1 .2m= 00000 基本 117, 重要 126 m+1 2 よって, ①は成り立つ。 2 (+1)+2+1+2+2++200 1 1 m +. = ²² +1+2+1 +2° +2 +2° +2 2m+2m_ 2 2m+2 2m -+1 m +1+ 2 よって,n=m+1のときにも ①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m IM ********* 1|k k=1 k All 12m+1=2m.2=2m +2m _________1_ -> 2m+k2m+2m (k=1, 2, (=2+₁) ......, 2m-1) CIX 2™ 1 ≥ m +1 213 4章 15 無限級数

7行目の四角の部分はどこから来たんですか？

418 第8章 整数の性質 例題 239 考え方 解 *** 合同式の利用(3) 問合 su (1) すべての自然数nについて, 9" +4+1は5の倍数であることを証 明せよ. (2) すべての自然数nについて, 2n+1+32n-1 は 7の倍数であること を証明せよ. (mbom) FORT (1)9≡4(mod5) であるから, 合同式の性質 α"=6" (modm)より, 94" (mod5) がいえる. (2) 2=9(mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。 Move! 01 00 08 01 O(S) (1) 9"+4n+1=9"+4•4" 94 (mod5) であり, nは自然数であるから, 9"=4" (mod 5) 1 331 11 がいる. ① より 9 +4•4"=4"+4・4" anでくくっていbot) pposu 000S+2. ($1 bom) ==²8 33 ここで,4"+4•4"=(1+4)・4"=5・4"より,=8-88=8 (SI Bour) & 8 9"+4+4" 5.4" =0 (mod 5) 88=8+8==='8 g-g="8 (Sibara よって,すべての自然数nについて 9" +4" +1 は5の 倍数である. (2) 2+1+32n-1P とおく. (SIbom) 88 (SI born) pg 1003433+1 2n+1=22.2n-1=4.27-100m) また,32n-1=3・32n-2Fbom =3・32(n-1)=3・97-1 より, P=4・21+3・9-1 ...... ① 01 0001S0001 (med) (32)^-1 ⓘ32"-2 =9n-1 ここで,92 (mod7) より 9-12-1 (mod7) boma=b(modm) α"=6" (modm) (Orbom したがって, ①より, P=4.2" +3.2"-1 (mod7) さらに, 4・2"-' +3・2"-1=(4+3) ・2"-1) ED 7.2より P=0 (mod 7) (01bom) ep ,010,303 以上から,すべての自然数nについて 2+1+321 は7の倍数である. a-e=bid (nlodm)

数II、恒等式の問題です。 水色線の部分なのですが、どうしたら解くことが出来るのかわかりません。X、Yはどの様にして求められるのでしょうか？ 教えていただけると幸いです💦

例題 10 恒等式の利用 等式 (2k+1)x+(k+2)y-4+k=0 がんのどのような値に対しても 成り立つように, x,yの値を定めよ。 (2x+y+1)k+x+2y-4=0 これがんについての恒等式であるとき 2x+y+1=0, x+2y-4=0 これを解いて 2x=-2,y=3 解答 等式をんについて整理すると MA

(3)赤線を引いたところの式変形がよく分からないので教えてください。

例題264 合同式の利用(1) **** αは7で割ると3余る整数, βは7で割ると4余る整数である. このと き、次の数を7で割ったときの余りを合同式を利用して求めよ。 (1) α+2β (2) a³ (3) β50 考え方 解答 m, nを整数として, α=7m+3,β=7n+4 とおき, 代入しても求められるが, (3) の β50はそのままでは計算が大変である. そこで, 合同式の性質の利用する. 7を法とすると, (1) 2β=2×4=8=1 (mod7) より α+2β=3+1=4 (mod7) 4 α=3 (mod7), β=4 (mod7) よって, 求める余りは, (2) a³=3³ (mod 7) ここで, 3=27=6 (mod7) よって,ω≡6(mod7) より 求める余りは, 6 (3) β50=450(mod7) ここで, 450=(22)50=2100= (23)33×2 =833 × 2 81 (mod7) であるから, 1 833×2=133×2=2 (mod7) したがって, よって, 求める余りは, 2 50=45°=2 (mod7) a=b (modm), c≡d (modm) のとき, a+c=b+d (modm) を利用する. a=b (modm) のとき, a"=6" (modm) を利用する. 100=3×33+1 833=133=1 (mod7) 549

数列 答えの矢印のところは特製方程式の解き方で計算していますか？ Bがあるのでわかりません

192 ze 年利率 0.05, 1年ごとの複利で借金をする. 今年の年度初めに1000万円を借 1年後(今年の年度末)から返済を開始し,毎年, 年度末に同じ金額を返済 するものとする. このとき,以下の問いに答えよ. ただし, 1.05=1.407, 1.05°=1.477, 1.05°=1.551, 1.05=1.629 として計算せよ. 複利での借金とは次のようなものである. ある年の年度初めに年利率rでA円 を借りると,1年後の借金は A (1+r) 円になる. ここでB円を返すと, 1年目の年度末の借金残高は {A(1+r) -B}円 以下,R=1+r とおくと. 3+3.25 1657 2年目の年度末の借金残高は Check Box 解答は別冊 p.200 Mon 665 $30 (1≤n) n$+³n=₂2 (1) (AR-B)R-B=AR²-B(1+R) (F) (50) Linst h²,2 ist 3年目の年度末の借金残高は {AR²−B(1+R)}R—B=AR³− B(1+R+R²) (17) 31=5 (E) (円) となる.等比数列 差数列 (1) 毎年、年度末に100万円を返済するとき, 1年後の年度末の借金残高は アイウ万円になる. (2) 10 年後の年度末に返済を完了するためには, 毎年いくらずつ返済すればよい かを考えようとから、 返済額をB円, R=1.05 とすると, 10年後の残高は Rカキコー1 HR-11 (ISR) [+₂DS=₂8=₁0 (1) それ1000R エオー BX これが 0 となる条件から、毎年クケコ 万円返済すればよい. ただし、クケコは一万円未満を切り捨てて、 一万円までの概数で答えよ. (3)毎年、年度末に100万円を返済するとき,借金残高が初めて500万円以下と なるのはサ 年目の年度末である. ご利用する 3>830-1+0=RK

考え方のところに(3)組み合わせに注意とありますが、どのような組み合わせを作ったらいいのですか？

Check 例題14/｢積和,和→積の公式の利用」 次の値を求めよ. 5 π TT (1) 4 sin cos 12 12 2 4 oos & cos & cos + 1 COS TT COS 9 9 (3 (Amie (2) 5 COS 12 1 FEB 2 25 (1) () () A sina cos B={sin (a+ß)+sin(a− B)} (2) (†)→(fi) MÃït cos A-cos B=-2 sin 2D A+B A-B (③) 組み合わせに注意して,(積)→(和)の公式を利用する. -sin- 5 Aniatonia Q200+; (1) 4sin 12" TT COS cos 12 π -π+ 12 = 4 + 1/2 (sin ( 12² -2(sin+sin)-2(1+)-2+√5 = -T-COS COS MO=1 1 2 3 π 12 COS +sin COS FR + COS == 3 -2 sin- = (2) COS π -π - 12 12, 5 π π+ 12 12 2 T 9 9 9 4 2 4 2 - 1 {cos (+ x + 3 *) + cos (+*+-+)|cos = COS 9 2 1007108-117 π 12 2 (3) cos cos cos=(coscos 7) COS COS T COS 1 --cos+cos+cos COS 9 4 5 12] π =-2 sin sin 4 ON of 2NOX-OA.cos MOA 200 AO MO 082 20/242 MO 2xM060) =-2-2-41 2 TT COS 4 4 9 π 6 sin √2 3 1 -- 1008 4 + 1 + 1 + + cos 5-1 COS COS 4 9 42 4 9 8 TCOS COS 507 -π- 12 2 MO 12 9 +cos co π 510 9 1 ==(-1)005 + + +008 1 x COS -212002²+ $ 200 COS 2π 9 9 2 9 1 1 9 22 (cos ( ²2 7 + 7) + cos (2x - 5) T) | 1 E 9 9 9 *** gia ･①を利用する. 2② を利用する. OMATO 積→和 ①で T 200 555 α= π, B= 12 と考える. 9 8800+0200 AO |和→積 5 \*=XQ |A=iz*, B= =127, B=122 と考える. 5) 9 hie MOAX 200 XOM niz AO Ania+onia cos a cos 9 TXOMA 200 (cos(a+B) π 12 +cos (a-B)} 01 Jet |第4

至急‼︎証明問題なのですが6k +1と6k +5が等しくなるのはなぜですか？？

整数 (12) In(n+1) (24+1 n 2 (tc fest 6の倍数 =1/(k+1)(2k+1) n(nt))(zm+1)が6の倍数 であることを示せ。 3 from fell 方法2乗する。 ①剰余類に分ける→◎銅式の利用(P130) 2 No. 76TT" 6r+ 9. 6K₁ 61²71, 6k+2, 6k+3₁ 6k+3. (6k+4) (6 (175) chic. プラマイ プラマイ Date 2

教えてください🙇‍♀️

1次不等式の利用 51a5000円以下で, 1個180円のりんごを 何個か1つの箱に詰めて友人に送りたい。 箱代が80円, 送料が600円かかるとき, りんご は何個まで詰めることができるか。

(3)(4)はなぜy=の形になおすのか気になります。 また解の表は2次不等式を判別式で解いてからのことをまとめているのか、そうでないのかも気になって理解できていません！ 優しい方教えてください🙇‍♀️

29 2次不等式 30 2次不等式の利用 2. 次不等式の解 (10) 2次関数y=ax+bx+e (a>0) のグラフとx軸の交点のx座標がα, B (8) のとき a ① x²+bx+c>0の解はxa, B<x ② ax²+bx+c<0の解は α<x<B 2 2次不等式の解 (D=0,D<0) y=ax²+bx+c(a>0)のグラフとx軸が接するときの接点のx座標をα とする。 D=4ac の符号 D=0 D<0 x²+bx+c>0の解α以外のすべての実数 すべての実数 ax2+bx+c≧0 の解 すべての実数 すべての実数 ax2+bx+c<0 の解 ない ない ax²+bx+c≦0の解 x=a ない 例24 次の2次不等式を解いてみよう。 (1) x²+4x-30 x²+4x-3=0 を解くと x=-2±√7 よって、この2次不等式の解は ア (2) -x^2+6.x+7>0 両辺に-1を掛けると x²-6x-7<0 ²-6x-7=0 を解くと x=-1,7 よって、この2次不等式の解は <x< (3).x²-8x+16>0 y=x²-8x+16 を変形すると y=(x-4)2 グラフは右の図のようにx軸と (4, 0) で接する。 よって、この2次不等式の解は オ 以外のすべての実数 (4) (4)x²+4x+5≤0 y=x²+4x+5を変形すると y=(x+2)^+1 グラフはx軸の上側にある。 カ よって、この2次不等式の解は -2-√7 I -2+√7 <x 4 X S ax²4 ◄ a: x

4STEP I の問題です 7(x-4)＋1 ≦ 6x+15 が＝で結ばれないのはなぜですか💦 教えてください😖

【4STEP数学I 問題 85】 ある高等学校の1年生全員が長いすに座っていくとき,1脚に6人ずつ座っていくと 15 人が座れなくなる。また,1脚に7人ずつ座っていくと,使わない長いすが3脚できる。 長いすの数は何脚以上何脚以下か。 |3