(1)(2)ともにまったく分からないので教えてください！

[大] 大] 重要 例題 9 二項定理の利用 (1) 101 ' の下位5桁を求めよ。 (2)2 00で割った余りを求めよ。 CHART & THINKING のののの 23 基本 (1),(2) ともに, まともに計算するのは大変。 (1) は,次のように変形して、 二項定理を利用する。 1011= (100+1)100= (1+102) 100 展開した後, 各項に含まれる 10 に着目し, 下位5桁に関係する箇所のみを考える。 (2)も二項定理を利用するが,どのようにすればよいだろうか? →900=302 であることに着目し,2930-1 と変形して考えよう。 解答 (1) 1011=(100+1)100= (1+102) 100 =1+100C1・102+100C2・10+100C3・10°+100C4・10°++10200 =1+100C1・102+100C2・10+10%(100Cs+100C4 ・ 102 +... +10194) ここで, a=100C3 +100C4・102 +…+10194 とおくとaは自然数で 101100 = 1+10000 + 49500000 +10°α =10001+49500000 +10°a =10001+105(495+10a) 10 (495+10a) の下位5桁はすべて 0 である。 よって, 101100 の下位 5桁は 10001 (2) 2945(30-1)45=(-1+30)45 =(-1)^5+45Ci (−1)44・30+45C2(-1)43・302+45C3(-1)42・303 ■■ 1章 1 3次式の展開と因数分解,二項定理 分散式は、 +…+45C44(-1)・304+3045 第3項以降の項はすべて 302=900で割り切れる。 また,(-1)45=-1, -1) =1であるから -1+45・1・30=1349=900・1 +449 よって, 2945 を900で割った余りは 449 大←第1項と第2項の和は 900 より大きい。 計算への応用 INFORMATION 上と同じ考え方で, 複雑な計算を暗算で行うことができる。 例えば,9992 は 9992=(1000-1)=1000000-2000+1=998001, 4989×5011 は 4989×5011=(5000-11)×(5000+11)=50002-11=25000000121=24999879 と計算 できる。

高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... 続きを読む

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

数Ⅱ　二項定理 （１）が解説を読んでもわかりません。分かりやすく説明していただきたいです、よろしくお願いします。

基本 例題 5 二項係数と等式の証明 00000 (1)knCk=nn-1Ck-1 (n≧2, k=1, 2, ......, n) が成り立つことを証明せよ。 (2)(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。 (ア) nCo+nCi+nCz+......+nCr+......+nCn=2" (イ) Co-C1+"C2+(-1)",C,+......+(-1)"„C„=0 (ウ) nCo-2nC+22,C2+(-2)'nC,+......+(-2)"nCn=(-1)" 1章 1 p.11 基本事項 4 n! r!(n―r)! を利用して, knCk, nn-1Ck-1 をそれぞれ変形する。 指針▷ (1) Cr= (2) (ア)二項定理 (p.11 基本事項4) において, a=1, 6=x とおくと (1+x)"=nCo+nCix+nC2x+••••••••••••nCnx" ① 等式① と, 与式の左辺を比べることにより, ①の両辺でx=1 とおけばよいことに気 づく。 同様にして, (イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。 解答 n! (n-1)! (1) knCk=k• (n-1)! nn-1Ck-1=n. =n° k!(n-k)! (k-1)! (n-k)! (n!=n(n-1)! (n-1)! =n° (k-1)!{(n-1)-(k-1)}! (k-1)!(n-k)! したがって knCk=nn-1Ck-1 3次式の展開と因数分解、二項定理

(4)の解説お願いします。

a,b を実数の定数とする. xの3次式 f(x)=x°+(a+3)x2+(3a + b)x +3b と,3次方程式 がある. (1) f (-3) を求めよ. f(x)=0 . (*) (2)a=-1 かつ 6=1 のとき, (*) を解け . (3) (*) が異なる2つの虚数解をもつための a,bの条件を求めよ. (4) a, b (3) で求めた条件を満たすとし, (*)の異なる2つの虚数解をα, β とする. この とき,d', B' がともに(*)の解となるようなα, bの値の組 (a, b) をすべて求めよ.

至急お願いします🙏‼️ この問題の解き方教えてください🙏

44 難易度 ★★ 「解 目標解答時間L 10分 関連する 基本問題▼ x=1-2iが2次方程式 x+ax+b=0 (ただし, a,bは実数の定数) の解であるとき a=アイ,b=ウ 78 である。また、このα bに対して 2x-7x2 +19x-10=(x²+ax+b)([ であるから, x=12i のとき 8 2x-7x2+19x-10= 2 3 3 I X- オ + x+ キ 171 6 ク i である。さらに,実数係数の3次式 f(x)について,f(1-2i) =3+8i であるとき, である。 f(x) をx2+ax+6で割ったときの余りは, コサ x+ 182 78 (配点 10 ) 57

223. このような記述でも問題ないですよね？ またこの問題での接線を求めるときのプロセス、 ①接線の座標を仮定して接戦の方程式を立てる ②接線が通る点の座標を代入 ③微分を用いて求める という順番で進むのは一般的ですか？？

演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1) 曲線C:y=x+3x2+x と点 A(1, a) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 [類 北海道教育大] 1970 基本 218 である。 る。 指針▷ 3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の 検討 参照) から, 曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける 針の① の 曲線C上の点 (t +3t'+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線C上の点(t, t3+3t+t) における接線の方程式を求め,これが点 (1,α) を 通ることから, f(t)=a の形の等式を導く。 ・・・・・・ CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別 解答 y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, 3+ 312+t)に おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(32+6t+1)(x-t すなわち y=(3t2+6t+1)x−2t−3t2 ばよい。 この接線が点 (1,α) を通るとすると -23+6t+1=α ... ① f(t)=-2t+6t+1とすると f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) f'(t)=0 とするとt=±1 f(t) の増減表は次のようになる。 -1 1 0 |極大 5 .... 0 + 極小 -3 7 - 5 t f'(t) -3 f(t) 3次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なるから, もの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか ら曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 -1/0 +トー の解 1 y=a t - Ku y=f(t) 定数 αを分離。 f(-1)=2-6+1 = -3, f(1)=-2+6+1=5 ①の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=α との 共有点の座標。 検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係 3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α, β (αキβ)で接すると仮定すると g(x)-(mx+n)=k(x-a)²(x-B)² (k=0) ←接点 重解 の形の等式が成り立つはずである。 ところが, この左辺は3次式, 右辺は4次式であり矛盾して いる。 よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 the これに対して, 例えば4次関数のグラフでは、 異なる2点で接する直線がありうる (前ページの 61 3 関連発展問題 38

212. このような記述でも問題ないですかね？？ 0<h<aは書いていないですが問題ないですよね？ （r^2=a^2-h^2は書いていてr,a,hは当然全て>0なのだから同様のことは言えていると思いました。）

330 00000 基本例題 212 最大・最小の文章題(微分利用) 類 群馬大 半径aの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ。 また,そのときの円柱の高 基本 211 さを求めよ。 指針 文章題では, 最大値・最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。 次の手順で進める。 AM-* ① 変数を決め、その変域を調べる。 [②]最大値を求める量(ここでは円柱の体積), 変数の式で表す。 ③3 ②2 の関数の最大値を求める。なお,この問題では、求める量が,変数の3次式で表 されるから,最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。 無 なお,直ちに1つの文字で表すことは難しいから,わからないものは,とにかく文字を使 って表し、条件から文字を減らしていくとよい。 ならば、方程式 #SEN 計算がらくになるように 2h とする。 解答 円柱の高さを2h (0<2h<2a) とし, 底面の半径をrとすると r²=a²-h² 0 <2h<2aから 0<h<a Fo 円柱の体積を Vとすると V=лr² 2h=2(a²-h²)h =-2π(h-a²h) Vをんで微分すると V'=-2π (3h²-α²) =-2π(√3h+a)(√√3 h-a) 0くん <a において, V'=0となる a =1/3のときである。 のは,h= ゆえに,0くん<a におけるVの増 減表は,右のようになる。 したがって, V はん= a √3 よって体積の最大値 次回数でも学んだ h V' 2T V 4√3 9 のとき最大となる。 9-m- 0 ... h= a =1/3のとき,円柱の高さは 2 - 2√3 √3 a 3 -ла³, そのときの円柱の高さ 23 3 a *** 2x(a²-3).-4√3 a /3 9 + a √√3 0 極大 練習 ②212 底面の半径,および側面積を求めよ。 [R a 半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大 三平方の定理=y(1) 変数の変域を確認。 atla31 82x25- [S- (円柱の体積) = (底面積)×(高さ) dV dh をV' で表す。 h = 0, αは変域に含まれて いないから 変域の端の値 に対するVの値は記入し ていない。 今後,本書の増減表は,こ の方針で書く。 12h 12π(a²-h²)h に対し, その高さ,

223.) この問題で記述している 「三次関数のグラフでは接点が異なると接線が異なる」 というのは一つの接線で2つの接点を持つ方程式も存在するが、3時間数は全てそうではない、ということですか？？

43の考え方で s, f(s))で接する で接するとして 致する。 =(x-8)(x-1) 下の別 は え方によるものである。 ▼st を確認する。 方程式は x-31¹+81³. めの条件は、 方程 である。 をもてばよい。 -21-2) て、 sキナである。 0000 演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1) |曲線C:y=x+3x2+xと点A(1, α) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 1 本〔類 北海道教育大] 基本 218 -1)-8=-8 から パー 芹求めよ。 「指針3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の検討 参照) から, 曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける ・曲線C上の点 (t + 31+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線C上の点(t, における接線の方程式を求め,これが点 (1, a) を +362+t) 通ることから, f(t) =αの形の等式を導く。 。 ********* CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線[接点] も別 解答 y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, ピ+3t2+t) に おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(3t2+6t+1)(x-t) y=(3t2+6t+1)x-2t-3t2 すなわち この接線が点 (1,α)を通るとすると -2°+6t+1=α ① 定数 αを分離。 f(t)=-2t+6t+1 とすると Fit Maasto f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) f'(t)=0 とすると f(t) の増減表は次のようになる。 t=±1 ( t f'(t) f(t) -1 1 0 + 0 極小 極大 7 -3 5 ... - 5 1 -1/0; 1 y=a t |y=f(t) 3次関数のグラフでは、 接点が異なると接線が異なるから, の3次方程式 ①が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか ら曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 <f(-1)=2-6+1=-3, f(1)=-2+6+1=5 < ① の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=α との 共有点の座標。 検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係 3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α,β (αキβ)で接すると仮定すると g(x)−(mx+n)=k(x-a)²(x−ß)² (k=0) ←接点⇔重解 の形の等式が成り立つはずである。ところが、この左辺は3次式,右辺は4次式であり矛盾して いる。よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。 これに対して, 例えば4次関数のグラフでは, 異なる2点で接する直線がありうる ( 前ページの 演習例題222 参照)。 したがって,上の解答の の断り書きは重要である。 練習点A(0, α) から曲線 C:y=x-9x2+15x-7に3本の接線が引けるとき,定数 73sceto() 223 aの値の範囲を求めよ。 341 6章 3 関連発展問題 38

証明の２段目にx=0,1,-1,2で等式が成り立つと書いていますが、これは証明するためにこの4つの値で考えているという解釈で合っていますか？？

自係数比較法 検討 係数比較法は, 恒等式の性質 (p.35 基本事項 2① : 各項の係数はすべて0) が根拠となる これをPがxの3次式の場合, ax+bx+cx+d=0 ・・・・・・ A について証明してみよう。 [証明] ax3+bx2+cx+d=0 A がxについての恒等式とする。 ...... x=0,1,-1,2で等式が成り立つから x=0 のとき d=0 ① x=1 のとき a+b+c+d=0 x=-1 のとき -a+b-c+d=0 x=2 のとき 8a+46+2c+d=0 ①から a+b+c=0 -a+b=c=0 8a+46+2c=0 ...... ...... 000 ② +③ から 26=0 ゆえに 6=0 このとき, ②, ④ から a+c=0, 8a+2c=0 これを解いて a=c=0 よって a=b=c=d=0 B 逆に,Bが成り立てば明らかに A は 3 0.x3+0.x2+0.x +0=0となり,これは 4 xについての恒等式である。 ...... すなわち ax+bx+cx+d = 0 がxについての恒等式⇔a=b=c=d=0 ax+bx+cx+d=a'x+b'x' + c'x+d' がxについての恒等式 ⇔(a-a′)x3+(b-b')x2+(c-c)x+(d-d')=0 がxについての恒等式 よって, その各項の係数はすべて 0 であるから a=a', b=b', c=c', d=d' なお, 上の証明では,次のように、 2つの部分を示していることに注意する。 Aが恒等式 x=0, 1, -1,2で成立α=b=c=d=0 (必要条件) a=b=c=d=0 A が恒等式 ( 十分条件)

多項式の問題です 本当に分かりません😭 なるべく早く解答してくださると嬉しいです

(ヌ) よって mm 14より (15) 求めるkの値の範囲は, ④, ⑩, ⑩5 を同時に満たす範囲である。 (火) したがって、求めるkの値の範囲は <k<big -25 k> ((二) <k< 2 ◎難しい問題も、基本的な事項の積み重ねで解ける場合が多くあります。 わからなか 教科書や解答解説を参考にして、しっかり理解しておきましょう。 次は、トライ ジしてみましょう。 トライ xの3次式P(x)=x-(k+3)x²+(3k+1)x-3 (kは実数)がある。 (1) P(3) の値を求めよ。 また, P(x) を因数分解せよ。 (2) 3次方程式 P(x)=0 の解がすべて実数になるようなんの値の範囲を求め よ。 また, P(x)=0 の3つの解をα, β, y とするとき, d2 B2+B2x2+y2da をkを用いて表せ。 (3) 3次方程式 P(x)=0 の3つの解α, B, y がすべて止の数であるとき, B2+B2+you” の最小値を求めよ。 また, そのときのんの値を求めよ。 総得点