(1) x, yの関数 P=x2+3y²+4x-6y+2の最小値を求めよ。
(2)x,yの関数 Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6の最小値を求めよ。
指針
,(1),(2), 最小値をとるときのx, yの値も示せ。
[(2) 類 摂南大]
基本79
(1)条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは、次のように考えるとよい。
① x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする) を定数と考えて、Pをまずx
の2次式とみる。 そして, Pを基本形(x)' q に変形。
②残ったg(yの2次式) も、基本形 b(y-r) +sに変形。
③ P=aX + by°+s (a>0,6> 0, sは定数) の形。
→Pは X=Y= 0 のとき最小値s をとる。
(2)xyの頃があるが, 方針は(1)と同じ。 Q-alx-(by+c)l+d(y-r)+s の形に変
形。
CHART ・条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
! (1) P=x'+4x+3y²-6y+2
解答
=(x+2)-2'+3y-6y+2
-(x+2)+3(y-1)-3-12-2
=(x+2)+3(y-1)-5
まず, xについて基本形に。
次に, yについて基本形に。
P=aX2+bY2+s の形。
x, y は実数であるから
(x+2)'≧0, (y-1)≧0
< (実数) 20
よって, Pはx+2= 0, y-1=0のとき最小となる。
ゆえに
x=-2,y=1のとき最小値-5
(2) Q-x²-2xy+2y-2y+4x+6
x+2=0, y-1=0を解く
と
x=-2,y=1
=x-2(y-2)x+2y-2y+6
={x-(y-2)}-(y-2)'+2y2-2y+6
=(x-y+2)'+y2+2y+2
=(x-y+2)^+(y+1)-1+2
=(x-y+2)+(y+1)+1
x, y は実数であるから
(x-y+2)^≧0, (y+1)^≧0
よって, Q は x-y+2=0, y+1=0のとき最小では
る。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1
x=-3, y=-1のとき最小値1
ゆえに
最小値をとるx, yの値は,
連立方程式の解。
