数学II、微分の問題についての質問なのですが、下の写真の赤ボールペンで線を引いたところの、f'(x)が、なぜそうすると式が成り立つのか分かりません。下のf'(x)を用いた定積分の式は、何を表しているのか教えて頂きたいです🙇‍♀️

346 重要 217 3次関数の極大値と極小値の差 0000 |関数f(x)=x6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、定数の 値を求めよ。 X=8で極小値をとるとすると ページの例題と同じ方針で進める。x=αで極大値 x= f(a) f(B)を実際に求めるのは面倒なので、f(α)(B)をα-Bat Bag 大値と極小値の差が4f(α)(B)=4 (B)-(+)-4αβ を利用することで, a+B, aBのみで表すことができる。 (x)=3x²-12x+3a 解答 f(x)は極大値と極小値をとるから 2次方程式(x)=0 すなわち3x12x+3a= 0 ...... ① は異なる2つの実数 解α, β (a<β) をもつ。 よって、 ①の判別式をDとすると D>0 D=(-6)~3(3a)=9(4-a)であるから4-0 4 したがって a<4...... ② f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=αで極大 x=βで極小となる。 f(a)-f(B)=(a³-ß³)-6(a²-B²)+3a (a-B) =(a-B){ (a2+αB+B2)-6(a+β)+3a} =(a-B){ (a+B)-αB-6(a+β)+3a} ①で,解と係数の関係より よって a+β=4, aβ=a a-B=-2√4-a (a-B)=(a+B)2-4aβ=42-4・a=4(4-a) <Bより、α-β< 0 であるから ゆえに f(α)-f(B)=-2√4-a (42-a-6・4+3a) 今回は差を考えるので、 x <βと定める。 α B... f'(x) + 0 (x) 極大極小 0 3次関数が極値をもつとき 極大値 > 極小値 ②から 4-a>0 よって√4-a>0 =2√4-a{-2(4-α)} =4(√4-a)³ 44-a=(√4-a)² f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 すなわち よって (√4-a)³=1 √4-a=1 Aa=1 の両辺を2乗し ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 て解く。 定積分を用いた計算方法 自 討 f(α)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 (a)-f(8)=f(x)dx=3(x-a)(x-B)dx=3{-1/(a-B)"} ←p.377 基本例題 240 (1) NE これにα-β-2√4-a を代入して,f(a)-f(B)=4(√4-a) となる。 の公式を利用。 関数f(x)=x+ax2+bx+c がx=αで極大値, x=βで極小値をとるとき, 17 f(a)-f(B)=1/2(B-a)となることを示せ。 [類 名古屋大]

🚨🚨この問題の解き方を教えてください🙇‍♀️ 答えは(5)y=12x-16 (6) a=-3

(5)/y=mに点(1,-4) から引いた接線の方程式は (6) f(x) =3+(a-6)x2 + (a2-2a)æ-5がx=1で 極値をもつとき、 a =

497番についてなぜこの式になるのですか？底面積×高さ以外のやり方があるのですか、、？

3 関数の最大・最小 A 496 次の関数の( )内の区間における最大値と最小値を求めよ。 Qy dl)* f(x) = x12x-3≦x≦) a(2) f(x)=-x+6x2-9x+2 (-1 ≤ x ≤4) Q(3)* f(x) = 2x + 3x2 + 12x + 3 (0≦x≦) 497 底面の直径と高さの和が15cm である円柱を考える。 円柱の体積が 7.最大となるとき、底面の直径と高さを求めよ。 B □ 498* 右の図のように,x軸上に2点 A, B を, 関数 y=9-x2 のがラムにCDをとり、長方形ABCD をつ p.21 例題 35 考え方 解

至急‼️数IIです 492の途中式を教えてください

* (2) (3) *(4) (2x²+3x+4)dx+(2x²+3x+4)dx (x²+2x)dx-(x²+2x)dx | c+S, (x²-4x)dx + S, (x²-4x)dx-(x²-4x) 2 2次関数f(x) を微分せよ。 *1) f(x)=(-3t+2)dt *(3) f(x)=*₂(t−2)(t+1)dt 2 492 (1) f'(x)=- (-3t+2)dt) (2) f(x)=(-²+1)dt dx =-3x+2 (2) f(x)=(-²+1)dt dx Jo =-x+1 (3) f(x)=(-2)(t+1)dt dx-2 xh(1-=(x-2)(x+1) 493 (1) Sf(t)dt=x-4x-12……①とする。 ①の両辺をxで微分して x(f(x)=2x-4 また、①でx=α とおくと

数学の問題です。答えと解説お願いします。

(3)座標平面上で, y=x-x+1のグラブをCとし, C上のx座標が1である点におけ る接線を1とする。 の方程式は,y= カ x- キ である。 ク また,Cのx≧0の部分と直線l,およびy軸で囲まれた図形の面積は である。 ケ

（1）、（2）の解説いただけるとありがたいです

(1) æ 軸上に端点 A, y 軸上に端点 B を持つ長さ 1[m] の棒がある。 Aは最初原点にあり軸の正の向きに毎秒4[cm] の速度で動いている。 OA が 60[cm] になった瞬間の点 B の速度及び加速度を求めなさい。 (2) 軸上を運動する点Pの時刻 t [秒] における座標 [m] が x2 = t2 + 2t + 2 を満たすとき, P のt秒後の速度および加速度 α について, α= が成り立つことを示しなさい。 t+1 v = " x 1 23 (3) 半径が [cm] の半球の容器に水が満たしてある。 容器を 45° だけ傾けるとき、 流れ出る水の量を求めよ。 - 答え: (1) 速度 3[cm/sec], 加速度 5 - = 16 -0.3125[cm/sec²] (3) a³ = a³ [cm³] 6√2 5√2 Ta 12

ライン引いたところがなぜそうなるのかわかりません😭 教えてほしいです！！　

微分積分学の基本定理 . 微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆 演算であることを述べています。 これは、連続関数 f(t) について、 F(x) = ∫* f(t)dt と定義すると、F'(x) = f(x) が成 り立つことを意味します。 ・つまり、a からæまでのf(t) の積分を æで微分 すると、もとの関数 f(x) が得られるということ です。 この定理は、積分の計算や、 様々な数学的問題を 解く上で非常に重要な役割を果たします。

微分積分の、共通テスト対策問題集の問題です。 答えと解き方が分からず困っています。 一部分だけでも構いませんので、分かる方がいらっしゃいましたらぜひご協力よろしくお願いします🙇

第3問 (必答問題) (配点 22) αを2より大きい定数とする。 関数y=(x-a)(x-2a) | のグラフを C, 直線l:y=2(x-α) と曲線Cとの共有点を x座標の小さい方からP, Q, R とする。 YA このとき、直線と曲線Cで囲まれる2つ の部分の面積の和 T を求めたい。 0 C:y=l(x-a)(x-2a)| T R (1) 共有点 P Q R のx座標をそれぞれ α, β, y とすると P a β2ay x l:y=2(x-a) a = a, ẞ= ア a イ y= ウ a+ エ (2) 太郎さんは積分公式 f(xa)(x-B)dx=-1/12(3-2)2 を次のように証明した。 (数学Ⅱ・数学B 数学C第3問は次ページに続く。) .

この式の計算過程が解答に書かれていなくて分かりません💦計算過程を教えてくれませんか？

6.2 (1) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ. f(x)=-x+ff(t)dt

(2)で黄色い付箋が貼ってあるところの「ここで〜となり」の範囲を確認している部分がなんそうなっているのかわかりません。後右ページ上から2行目から3行目の計算の仕方がわかりません

基礎問 110 面積(M) 放物線y=ax2-12a+2 (0<a</ ......① を考える. y=uv y 14042 ay2+y-2(2α+1)=0 ..(y-2) (ay+2a+1)= 0 .. y=2, −2-17= 201 a a -20-=-2-4 (1)放物線 ①がαの値にかかわらず通る定点を求めよ. (2) 放物線①と円 2+y2 =16･･･ ② の交点のy座標を求めよ. (3)a=1/12 のとき,放物線 ①と円 ②で囲まれる部分のうち、放物 精講 線の上側にある部分の面積Sを求めよ. (1)定数αを含んだ方程式の表す曲線が, aの値にかかわらず通る 定点を求めるときは、式をαについて整理して,aについての恒 等式と考えます (37) (2) 2つの曲線の交点ですから連立方程式の解を求めますが,yを消去すると の4次方程式になるので, 座標が必要でも,まず』を消去してyの2次 方程式にして解きます。 (3)面積を求めるとき,境界線に円弧が含まれていると, 扇形の面積を求める ことになるので, 中心角を求めなければなりません. だから, 中心〇と交点 を結んだ線を引く必要があります.もちろん、 境界線に放物線が含まれるの で,定積分も必要になります。 ここで, 2</1/12より-2-1/2-4となり,円+g=16 上の点 _1は不適よって, y=2 y=-2- (3)a=1/12 のとき,①は y=1/1 (1)(2), ①,②の交点は (A(2√3,2), B(-2√3, 2) AOB=120° だから 2√3 S=2.5" {2-(1-1)) は-4≦y≦4 をみたす y 4 2 B4.... A d.x +(x-4³. 120-4-4-sin 2) +(7.42.120 360 12/3 16 3 --+6]+6x-4√3 =24√3+12√3+1-4√3 6 16 =4√3+10% x -1 解答 (1) y=ar2-12a+2 より ポイント a(x²-12)-(y-2)=0 <aについて整理 これが任意のαについて成りたつので 2-12=0 y-2=0 x=±2√3,y=2 演習問題 110 よって, ① がαの値にかかわらず通る定点は (±2√3, 2) y=ax²-12a+2.....① (2) |r2+y2=16 ......② ②より, z=16-y だから, ①に代入して 境界に円弧を含む図形の面積は,中心と結んで扇形の 面積を考えるので、中心角が必要 2次関数 f(x)=x'+ax+b が条件f(1)=1, f'(1)=0 をみた すとする.また,方程式-2x+y-2y=0 が表す円をCとする. (1) α, bの値を求めよ. (2)y=f(x)のグラフと曲線Cで囲まれる部分の面積のうち,放 物線の下側にある部分の面積Sを求めよ. JmHe