74 指数関数の最大・最小
a> 0, x>0)のとき, f(x)=xe - について,次の問いに答えよ、
(1) f(x) の最大値Mをαで表せ.
(2) Mが最小となるαを求めよ.
基本的には, 62, 63 と同様ですが, 大きな違いは,定数αが含まれ
ていることです。
これによって, 方程式 f'(x)=0 の解を求める場面で,その解に入
a
字αが含まれることになり、 場合分けが起こるかもしれません。
解答
(1) x>0 のとき
f'(x)=ara-le-xe-
=xª-¹e-¹(a-x)
IC
0
lex>0 だから,
f'(x)
0
f'(x)=0 のとき
f(x)
7
ae-al
x=a
よって, 増減は右表のようになる.
.". M=aªe-a
注
もし a>0 がなければ, 0とαの大小の判断がつかないので場合
分けをすることになります. (I)
(2) M = αe - において, a>0 だから,
log M=log aªealog M= aloga-a
両辺をαで微分すると,
【対数微分法: 63
M'
-=loga+
ga+a: 1-1
M
~M'=Mloga
...
1
M>0 だから, M' = 0 のとき α=1
20
よって, 増減は右表のようになり,
Mは α=1のとき 最小.
:
+
0
a
M'
M
✓
T
e-¹
:
+
7