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208
第7章 数
列
基礎問
134 漸化式の応用
すべて交わる→交点がの個増える
平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3
本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面がαn 個
の部分に分けられるとする.
209
(3)(2)で考えたように,(n+1)本目の直線はそれ以前に引いてある直
線とか所で交わり、その交点によって, (n+1)本目の直線は、2つ
半直線と (n-1) 個の線分に分割されている(下図)。
① ②
③ n+1
(n+1) 本目の直線
(1) 1, 2, as を求めよ.
(2) 本の直線が引いてあり、あらたに (n+1) 本目の直線を引
いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか.
1本目
2本目3本目
(3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ.
(4) an を求めよ.
精講
まず、設問の意味を正しくとらえないといけません. nが含まれて
いるとわかりにくいので, nに具体的な数字を代入してイメージを
つかむことが大切で, これが(1)です.
(3)が最大のテーマです. 「αn+」 を α で表せ」 という要求のときに, 41, 42,
α などから様子を探るのも1つの手ですが, それは137 以降 (数学的帰納法) に
まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか
を学習します.
an と n+1 の違いは直線の本数が1本増えることです.
本目
この(n+1) 個の半直線と線分の1つによって、いままで1つであ
った平面が2つに分割される.
よって, (n+1)本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える
ことになる.
..
an+1=an+n+1 (n≧1)
階差数列 (123)
(4) n≧2 のとき,
n-1
ana+(k+1)=2+(2+3+...+n)
k=1
=(1+2+…+n)+1=1/12n(n+1)+1=1/2(n+n+2)
これは, n=1のときも含む.
①+②
autitl
Cuti
C₁ =
Cula
より
Cu
but,
はネ
数は、
吟味を忘れずに
丁目
直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが, 問題
はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります.
ポイント
漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として, (n+1)
番目の状態を考え、 その変化を追う
解答
(1)
(a₁)
(a2)
(a3)
くり返し動作したときの番目anの求めかた.
→①番目のを求める
①
①
②nauと(ntl)番目antの関係を求める.
(6)
②
⑤
27
演習問題 134
③
(4)
右図のように円 01, 2, ･･･ は互いに接し, かつ点Cで交わる半
直線に内接している. このとき,次の問いに答えよ.
図より, a2=4
図より, 43=7
(1) 円 0 の半径が5, CA」 の長さが12で
12
図より, a1=2
(2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら
ないので, (n+1)本目の直線は, それ以前に引いてあるn本の直線の
すべてと1回ずつ交わっている。 よって, nか所で交わる.
あるとき、円の半径r を求めよ.
(2)番目の0 の半径を とすると
き,n
101
02
(3)
n+1の関係式を求めよ.
を求めよ.
・11
A2 A1
第7章
は
れる数
