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126─クリアー 数学ⅡI
f(x)=-2x+12x2 とすると
f'(x)=-6x2+24x=-6xx-4)~)
f'(x) = 0 とすると
x=0,4
(ii) 0=1-3a2 のとき
f(x)はx=0, 1で最大値0をとる。
また, 0=1-3a²かつ 0<a<1を満たす。
② の範囲において, f(x) の増減表は次のように
√3
の値は a=-
3
なる。
x
0
f'(x)
f(x)
4
6
+ 0
164
よって, f(x) はx=4で最大値 64 をとる。
x=4のとき, ①から
y=4
したがって,xyはx=4, y=4のとき,最大値
64 をとる。
445 f'(x) =3x2-3a2=3(x²-α2)
=3(x+a)(x-a)
f'(x) =0 とすると
x=±a
(1)[1] 0<a<1のとき
0≦x≦1において, f(x) の増減表は次のよう
になる。
x
0
***
a
...
1
f'(x)
-
0 +
f(x)
0\ -2a3 1-3a²
(iii) 0>1-3a2 のとき
f(x) は x=0で最大値0をとる。
また, 01-3a²かつ0<a< 1 を満たす。
の値の範囲は
√3
3
<a<1
以上から
0<a<- 3
のとき
[2] 1≦aのとき
(1) の [2] から, f(x)は0≦x≦1で減少する。
よって, f(x) は x=0で最大値0をとる。
<導のと
x=1で最大値1-32
√3
a:
のとき
x=0, 1で最大値 0
3
√3
3
<a<1, 1a すなわち
√3
<aのとき
3
x=0で最大値 0
446f'(x) =3x2-6x=3x(x-2)
f'(x) = 0 とすると
x=0, 2
よって, f(x) はx=αで最小値 2αをとる。
[2] 1≦aのとき
0≦x≦1において, x2 -α 2 ≧0 であるから
f'(x)≤0
x≧0において,f(x) の増減表は次のようになる。
よって, x20 における y=f(x) のグラフは次の
図のようになる。
y
よって, f(x) は 0≦x≦1で減少する。
x 0
2
2
ゆえに,f(x) は x=1で最小値1-3 をとる。
f'(x)
0
0
+
f(x)
2
[1], [2] から
-27
0<a<1のとき
x=αで最小値 2α3
1≦a のとき
O
x
(2) [1] <a<1のとき
x=1で最小値1-32
(1)の増減表から, f(x) の最大値は
0 または 1-342
(1) [1] 0<a<2のとき
0≦x≦a における
0.10
(i) 01-3a²のとき
0.01
0.81
003 3.4%
f(x) は x=1で最大値1-3αをとる。
y=f(x) のグラフは
右の図の実線部分で
ある。
a 2
また, 01-3α かつ 0<a<1を満たすα
よって, x=a で
-2
の値の範囲は0kag
最小値 α-3a2+2
a³-3a²+2
3
をとる。
