練習問題 4
100 以上 500 以下の整数のうち,5または7で割り切れるものは何個あ
るか.
精講
100 以上 500 以下の整数を「5の倍数」と「7の倍数」に場合分け
して数えて,その結果を足し算すればよさそうですが、話はそれほ
ど単純ではありません. この数え方だと, 105 のような 5の倍数でありの
「倍数でもある数」 が重複して数えられてしまうからです. ここでは「包除原
理」を用いて,その重複を取り除いてしまいましょう。
解答
100 以上 500 以下の5の倍数は
5の倍数
7の倍数
5x20, 5×21, ..., 5×100
35の
倍数
なので,
100-20+1=81個
また100以上500以下の7の倍数は
7×157×16,…,7×71
なので,
71-15+1=57個
また,「5の倍数でもあり7の倍数でもある数」は,5と7の公倍数なので
「35の倍数」である. 100 以上500 以下の35の倍数は
35×3, 35×4, ..., 35×14
なので, 14-3+1=12個
「包除原理」により, 求める場合の数は
81+57-12=126個