この問題の場合分けのtって全部に=付けてもいいですか？？

を求め 380 思考プロセス に文字を含む 例題224 関数の最大 最小〔 関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t ≦x≦t + 1 における最大値 M (t) を求めよ。 << Action 関数の最大･最小は, 極値と端点での値を調べよ 場合に分ける 区間 ≦x≦t + 1 に文字が含まれている。 tの値が大きくなるほど, 区間の全体が右側へ動いていくことから, 場合分けの境界を考える。 (極大となる点を) 区間に含む X (極大となる点を) 区間に含まない/ 扇 f'(x) = 3.x-12x+9=3(x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x=1,3 よって, f(x) の増減表は次のように なる。 1 |... M(t)=(極大値) 0 t= 3 f'(x) + 0 + f(x) 7 3 s -1 7 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 ここで, f(t)=f(t+1) となるt の値は ピー 6t+9t-1=(t+1)-6(t+1)2 +9(t+1)-1 t³-6t² +9t-1 = t³-3t²+3 整理すると 3t-9t+4=0 9±√33 よって 6 グラフより, M(t)=f(t) = f(t+1) t = /区間の両端での 値の大小を考える 9+√33 6 [画 となるtの値は (ア) t + 1 < 1 すなわち t<0のとき M(t)=f(t+1) = t³-3t² +3 N O It Itt! 境界となる 両端の値が等しいときを考える f(t)=f(t+1) t+1 t 3 N t+1 例題219 幅 [xx] 右側へ動いていく 9-√33 のときは、 6 最小値がf(t)=f(t+1) となるときである。 とき (イ) t < 1st +1 すなわち 0≦t<I のとき (ウ) 1≦t< (1) t M(t)=f(1)=3 M(t) = f(t) (ア)~(エ)より 練習 224. 9+√33 6 9+√33 6 M(t)=33 のとき M(t)=f(t+1) =ピ-612 +9t-1 t³-3t² +3 のとき a = = t³-3t²+3 としてよい。 y $3 t-612 +9t-11≦t< t+(t+1) 2 9+√33 6 Of t < 0, (0 ≦t < 1 のとき) <t< 9+√33 6 = 3 すなわちt= 1+1 5 2 stのとき のとき Point f(t) = f(t+1) となる点 例題224 では、関数 f(x) に対して f(t)=f(t+1) になる求め た。 f(x) が3次関数の場合, x = α で極値をとっても, 曲線 y=f(x) は直線x=α に関して対称ではないことに注意する。 〔誤答例〕 f(t)=f(t+1) となるのは, x=3 区間 t≦x≦t+1 の 中央にあるときであり t+(t+1) 2 一方, f(x) が2次関数の場合, y=f(x)は放物線であり､軸がx=a である放物線は, その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1) となるのは, a tt+1の中央にあるときであり すなわちt=a- 1830 2 KISISITIK |x-1 が含まれるとき。 最大値をとるxの値を求 める必要がないから、 9+√33 6 の場合を分 けずに考える。 t= x=t+1のときに最大値 をとる (7) (エ)の場合をま とめる。 非対称 VIV ALA y=f(x) 非対称 [対称] VTV. 3r²+2のt≦x≦t+1 における最大値を求めよ。 15章 関数の応用 11

なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

例題 208 極値より関数の決定 3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3 で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大) 考え方 与えられた条件より, 増減表をかく. x=-1で極大値をとる” 10m x=3 で極小値-25をとる” ■解答 y=f(x)の増減表が右の ようになるときを考える. ()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値 (8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である. f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる。 Focus f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. ... 練習 [208] *** f'(x) + より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大 増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0 -1 3 0 2 0 + 極小 -25 f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x f(3) = 27+9a+36+c = -25 11 ①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2 また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2 > ......1 …. ③ f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3) より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 極大値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で *** NICO y=f(x)がx=α で極値をとる f'(a)=0 f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② から α, bを 求め③に代入する。 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値, x=3 で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の 式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。 つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注 極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と 係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。 (1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ. 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た す関数f(x) をすべて求めよ. 1x25x1 p.389

この問題でなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値、x=3で極小値をもつことは明らかだと思うのですが、、、(x=-1,3で極値をもつということは、f'(x)=0は、x=-1,3を解にもち、f(x)を微分して得られるf'(x)のx^2の係数は正な... 続きを読む

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

この問題ではなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値をとり、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

[2]の場合分けで=がつく理由を教えて下さい 4/3aまでだったら4/3aの時も最大値になりませんか？

して 値 し こ 含む 3次関数の最大・最小 4 DO aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+ax 0≦x≦1における最大 値M (α) を求めよ。 [類 立命館大] 基本 211 重要 214 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211と同じ要領で, 極値と区間の端 での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x)の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな YA る(原点を通る)。 ここで, x= a 以外にf(x)=f a =(1/3)を満たす (01/27) 3 f(1/3) 6章 (これをaとする)があることに注意が必要。 O a 10/3, α ( 1 <a)が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場 a よって, a x 3 #²² y=x²³-2ax² +a²x 合分けを行う。 直線y= 4a²は 27 解答 x=1で持するので(と)を因数に f'(x)=3x2-4ax+α² f(x)=x(x2-2ax+α²) a =(3x-a)(x-a) =x(x-a)^2 から xC .…. a a f'(x)=0 とすると x= a f'(x) + + ¹ ( ²² ) = ²/² ( - ²3/3 a)² = 24/7 0 |極大 a>0であるから, f(x) の増減表 極小 [1] YA f(x) / 4 -a³ 0 a²-2a+1 は右のようになる。 27 a 4 ここで,x= 以外にf(x)=3 を満たすxの値を求めると 27 4 f(x)=1/27から x³-2ax²+a²x- a =0 487 x²³-²9x²0x² = ·93 27 a ゆえに x- =0 xキ であるからx= 3 したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M(α) は ① [1] 1<// すなわち4>3のとき M(a)=f(1) ①で割る②敷をとる(不等号逆にする [2] a saya すなわち ≦a≦3のとき M(α)=f [3] 0</1/3 a <1 すなわち0<a< 3 のとき M(α)=f(1) 以上から 0<a<2,3<a のとき M(a)=a²-2a+1 3 4 10 a a 4 a ≦a≦3のとき 3 3 4 M(a)= a³ 27 速度 (6) 曲線 y=(x)と直線ソニーでは、x=gの点において接するから、バー2/ は (x-23 ) で割り切れる。このことを利用して因数分解している。 練習 ③213 aは正の定数とする。 関数f(x)=-1+1/10ax²-2ax+α の区間 0≦x≦2にお ける最小 8 ... 430 [2] YA 4 279³ 0 [3] y 1 a 3 最大 -最大 1 a a²-2a+1 最大! a 18 331 章 37 最大値 ・最小値、方程式・不等式

画像の問題の場合分けの⑵の方が分からないです。 教えて欲しいです

158⑤ αは負の定数とする。 関数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6axの区間 ー2≦x≦2における最大値 最小値を求めよ。 Arch 1 100% 400 HUNT 153 f(x) が極大値をもたないための必要十分条件は f'(x) の符号が正から負に ことである。ゆえに,f'(x)のxの係数が正であるから、3次方程式 る3つの実数解をもたない。 14 (1) α, βはf'(x)=0 の2つの解。 (2) f(a) - f (B) を αとβで表す。 大 155(1) asin0 + bcose の問題→合成してrsin (0+α) の形へ。 (2) かくれた条件 sin ²0 + cos20=1 を利用。 (3) f(x) を用いて表すとtの3次関数になる。 156 (前半) 相加平均と相乗平均の大小関係を利用する。 (後半) 4+ 4*, 8 + 8 を t で表し, g(x) をt で表す。 157点 (xo,yo) と直線ax+by+c=0 の距離は + laxo+byo+cl √a² +6² SINUS P(t, f2) として, PQ･PR をtを用いて表すと,t の4次関数になる。 158 微分して増減を調べ, [1] 極大値、極小値が区間内にあるか [2] 極値と両端での はどうかに着目して場合分けをする。

450番をグラフの書き方など分かりやすく説明して頂きたいです

3次関数のグラフと接線で囲まれた面積 題 曲線y=x°-5x°+5x+8と,接線 y=2x-1で囲まれた図形の面積 86 Sを求めよ。 解答 曲線とこの接線の共有点のx座標は、 方程式 x-5x°+5x+8=2x-1 すなわちx°-5x°+3x+9=0 の解である。 因数分解して(x-3)°(x+1)=0より x=-1, 3 よって,求める面積Sは,グラフから S=(x°-5x°+5x+8)-(2x-1)}dx 3 x -1 3 (x°-5x°+3x+9)dx 5 3 -x?+9x 2 3 64 4 3 3 450 曲線y=x°-3x°+3x-1 と,この曲線上の点 (0, -1)における接線で囲 まれた部分の面積Sを求めよ。

ex136で、最後a≠0になるのはなぜですか？

一数学 において、解と価数の関係から EX 関数(x)-3"+43-a)+121-a (a2)について、)が小となるまの価とそのと 極大値と極小値の平均が1のとき,Aa)-八-から )は権大値と極小植をもつから、()より -3b>0 )が権大値と極小値をもつとき,極大値と極小値の平均が1となるためのa、 異なる2つの解をa, hとすると、極大値と報小値の平 EX 135 )ーーar=r- 計)- aの大が である。 学 -2 は 「 -0のとき よって、)は単画に増加するから、極値をもたない。 したがって、この場合は不通。 2) >8のとき )の増域表は右のようにな る。よって、求める条件は )-0とすると キにならば、バが ra)+1)=(『+)-ala+P)+Ma++2 (a+-3la+一ala+a-a +du++ よって に 2 である。 27 4 +b+2 パ0- リー ーるー」 一が++1=) a(2-96)=0 a-0または6=。 ()-から イリー1から のをのに代入して整理すると 『は実数であるから くDのとき 」の増減表は右のようにな る。よって、求める条件は を- a-2 ゆえに これはa>0を満たす。 4再図にをけて 母を払う。 0 よって EX 0 すなわち 求める図形は、2,③それぞれが表 す図形の共通部分であるから,右の 図の実線部分である。 ただし、原点は含まない。 大 極小 あく 分 リー、0-1 イトから ー ロ-と独物陣カー ハー (a0 F0)-1から をに代入して整理すると aは実数であるから これはなくりを満たす。 そ+7 -la+3(-s, g=-27 を合わせたもの。②が 者す図形は、教物 『ー-3 ロ-く b=号の下側の整分。 3 137 の権小値を求めよ。 F(x)=12x°+12(3-a)x'+24(1-a)x -12x(x*+(3-a)x+2(1-a)} =12x(x+2)(x+1-a) 『(x)=0 とすると 0Sa<1のとき 増減表は次のようになる。 以上から a=3, b=5 または =-3,ク=1 EX 136 ) )が極大値と極小値をもつためのは、あの条件を求めよ。 x=-2,0,a-1 -1Sa-1<0 が変す国形を、平宙上に関示せよ。 () Fx)=3x-2x+6 Ta)が極大値と極小値をもつための条件は、2次方程式 (x)=0すなわち3r-2r+b%=0 教解をもつことである。 よって、のの判別式をDとすると 9-(-aアー3-b=dー36 そ3次関数バ) をもつ aー1 のが異なる2つの実 ず(x) 0 0 0 )-0がなも つの実教解をもっ 「x) 極小 極大 0 極小と D>0 [2] =1のとき a-1=0 2) 0 ここで 増減表は右のようになる。 『(x 0 極小 =F) ゆえに、求める条件は a-36>0 0 0

a,bを実数とする。3次関数f(x)=-ax³+3x²+bがx=1で極値5をとるときのa,bはどうなりますか？

微積の問題です 3次関数と1次関数の囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件を考えるもので証明も必要です どなたか良い考えありませんでしょうか？

問題 (12)の結果 3次間数y=xー2x+xと直線y=*で囲まれた2つの部分の面積は等しい 一般に、3次関数と直線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件を考えよう。 (定理を作ろう) r (ならば) 「3次関数と直線で囲まれた2つの部分の面積は等しい」