Question

morigo

この問題でなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値、x=3で極小値をもつことは明らかだと思うのですが、、、(x=-1,3で極値をもつということは、f'(x)=0は、x=-1,3を解にもち、f(x)を微分して得られるf'(x)のx^2の係数は正なので、異なる2つの実数解のうち、小さい方のx=-1で極大値をもち、大きい方のx=3で極小値をもつことは確定するので、f'(-1)=0、f(3)=0と、他の条件のf(3)=-25によって出たa,b,cの値は、必ず題意に沿うのではないかという疑問です。)

376 第6章 微分法
Check
例題 208
極値より関数の決定
(足利工業大)
3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3
で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ.
考え方 与えられた条件より、 増減表をかく.
解答
練習
208
***
Focus
x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か
ら負に変わる.
x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の
符号が負から正に変わる.
また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値
極小値かの判定もできないので、確認が必要である.
x
f'(x) +
CAN C
-1
0
y=f(x) の増減表が右の
ようになるときを考える.
f(x)=x^3+ax2+bx+c
f(x) 極大
より、 f'(x)=3x²+2ax+b
増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0
3
0 +
極小
-25
7
①
f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ②
f(3)=27+9a+36+c=-25
....... 3③
0-1-
①,②,③を解いて,
また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く
a=-3, b=-9, c=2
f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)
より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3
で極小値-25 を確かにとる。
値は,
f(-1)=-1-3+9+2=7
よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7
***
(xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0
18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない
① ② からa,bを
求め③に代入する.
求めたa,b,cの値
のときに x=-1 で
極大値、x=3で極
小値-25をとるか
確かめる.
注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の
式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。
つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を
通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である.
注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と
係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。
例題2
関数
に、定
考え方
(1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値
をとる. 定数a,b,cの値を求めよ.
(2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま
た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た
す関数 f(x) をすべて求めよ。
p.3890
よ
G