鋭角三角形ABCがある。頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHと
さらにHから辺AB, ACに下ろした垂線の足をそれぞれP, Qとす
る.
(1)A,P,H,Q は同一円周上にあることを示せ
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22 P, B, C, Q は同一円周上にあることを示せ.
精講
この問題では,「内接四角形の定理の逆」 を使ってみましょう. あ
る四角形の「対角の和が180°」であれば,その四角形は円に内接
することがわかります. 練習問題4(2)で見たように, 「対角の和が180°」であ
ることは「ある内角がその“対角の外角” と等しい」ことと同じであることも
頭に入れておくといいでしょう.
解答
(1) ∠APH + ∠AQH=90°+90°=180° であるから、
内接四角形の定理の逆より 四角形APHQ
P
に内接する.つまり,A, P,H,Qは同一円周上
にある.
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(2) A, P. H, Q は同一円周上にあるので, 円周角
B
H
A
の定理より,
EZAQP=ZAHP......
∠AQP ∠AHP
また,∠AHB=90° ∠APH=90°より,
∠AHP=90°-∠BAH = ∠ABH ...... ②
TOP
①,② より ∠AQP=∠PBC. 四角形 PBCQ
B
H
は、1つの頂点の内角がその 「対角の外角」と等しいので、 内接四角形の
理の逆より、四角形 PBCQは円に内接する. したがって, P, B, C.Q
同一円周上にある.
コメント
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(2)は, 連想をつなぐことがかなり難しい問題です. こういう問題では,「
う方向で考えていくとい
