数II複素数の問題です。 下の鉛筆でかいてあるとおりD>0では？

つよう 基本 48 重要 例題 50 2次式の因数分解(2) 4x2+7xy-2y-5x+8y+h がx,yの1次式の積に因数分解できるように, 定数kの値を定めよ。 また、 そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大 ] CHART & THINKING 2次式の因数分解 = 0 とおいた2次方程式の解を利用 基本 20,46 「xyの1次式の積に因数分解できる」 とは, (与式)=(ax+by+c) (dx+ey+f) の形に表 されるということである。 また, 与式をxの2次式とみたとき(yを定数とみる), (与式) = 0 とおいた2次方程式 4x2+(7y-5)x-2y2-8y-k)=0の判別式をDとする と与式は x=(zy-s)+√x-(Py-5) の形に因数分解できる。この因 8 8 数x、yの1次式となるのは、Dが(yの1次式) すなわち」についての完全平方式のと きである。 それは, D1=0 とおいて、どのような条件が成り立つときだろうか? 答 ( (与式)=0とおいた方程式をxの2次方程式とみて 4x2+(7y-5)x-(2y2-8y-k)=0 ① の判別式をDとするとである。 83 int 恒等式の考えにより 解く方法もある。 (解答編 P-80=8+ および p.59 EXERCISES 15 参照) D=(7y-5)2+4・4(2y2-8y-k)=81y2-198y+25-16k 与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は,①の 解がyの1次式となること, すなわち D がyの完全平方式 となることである。 D1 = 0 とおいた」の2次方程式 81y2-198y+25-16k=0 の判別式をDとすると D2-(-99)2-81(25-16k)=81{112-(25-16k)} 44 04-81(96+16k) 2-1 0 D2 = 0 となればよいから 96+16k=0よって=-6 このとき, D=81y-198y+121=(9y-11)2 であるから, ①の解は x= __(7y-5)±√(9y-11)-(7y-5)±(9y-11) 8 8 5 ◆ D1 が完全平方式⇔ 2次方程式 D=0が重 解をもつ 計算を工夫すると 992=(9.11)=81・112 よって 音√(9y-11)=|9y-11| であるが, ±がついて いるから, 9y-11 の 対値ははずしてよい。 すなわち x=y-3-2y+2 4 中 (与式)=4x =(x-3)(x-2y+2)}(S) 括弧の前のを忘れ いように。 =(4x-y+3)(x+2y-2)

高二数学 波線を引いている部分のabはどう計算して3abからabになったんですか？

B1 式と証明・高次方程式 (20点) 多項式P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 がある。 ただし, kは実数の定数とする。 (1) P(2) の値を求めよ。 また, P (x)を因数分解せよ。 (2) 方程式 P(x)=0 が異なる2つの虚数解をもつときんのとり得る値の範囲を求めよ。 また、このとき、2つの虚数解をα, β とする。 '+B'+2a+2/+3=11 であるとき kの値を求めよ。 配点 (1) 8点 (2) 12点 解答 (1) P(x)=x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 P(2)=8+4(k-2)+2(3-2k)-6 = 0 <P(x) に x = 2 を代入する。 よって,P(x)はx-2 を因数にもち, P(x) を x-2で割ると、次のように 因数定理 なる。 x2+kx +3 x-2)x+(k-2)x2+(3-2k)x-6 -2x2 kx²+(3-2k)x P(x)は1次式x-αを因数にも (x-αで割り切れ ⇔P(α)=0 組立除法を用いて計算すると, のようになる。 kx² -2kx 3x-6 3x-6 0 k-2 3-2k -6 2 2k 6 1 k 3 10 したがって P(x)=(x-2)(x2+kx+3) 圈 P(2) = 0,P(x)=(x-2)(x2+kx+3 ) 多項式Aが多項式Bで割り あるとき,商をQ とすると A=BQ 完答への AP(2) の値を求めることができた。 道のり P(2) の値と因数定理から,P(x) が x-2 を因数にもつことに気づくことができた。A © 多項式の除法により, P (x) を因数分解することができた。 (2) (1)より, 方程式 P(x) = 0 は (x-2)(x2+kx+3)=0 すなわち x=2 または 3次方程式 P(x)=0の1 は,kの値に関係なく, x= 残りの解は2次方程式①の解で .....① x+kx+3=0 よって,P(x) = 0 が異なる2つの虚数解をもつ条件は, 2次方程式①が 虚数解をもつことである。 ①の判別式をDとすると D=k-4・1・3 = k²-12 2次方程式 ax2+bx+c=0 の判 別式をDとすると D=b2-4ac 40-

問1はどのように解いたらよいのでしょうか

第1問 次の問 (問1~5) に答えよ。[解答番号 3 2 問1 + 2.2 - 15 -36=( ア (x+7)² (2 π- イ である。 12 ] 第

３つに場合分けする時ってどんな時ですか？

8 次の方程式を解け。 (1) |x-3|=2x (2) x +2x-1=x+3

数IIの直線の方程式の問題です。 なぜKを使うのでしょうか？

基本 例題 81 2直線の交点を通る直線 2直線x+y-4=0 ①, 2x-y+1=0... 直線の方程式をそれぞれ求めよ。 (1)点(-1,2)を通る 指針 00000 ②の交点を通り, 次の条件を満 会 (2) 直線x+2y+2=0 に平行 2直線①,②の交点を通る直線の方程式として,次の方程式 ③ を考える。 k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数) (1) 直線 ③が点(-1, 2)を通るとして,kの値を決定する。 (2)平行条件abab=0を利用するために,③をx,yについて整理する。 CHART 2直線f=0,g=0 の交点を通る直線 kf+g=0 を利用 基本80

赤で囲った0って何処の0ですか？ 途中式があるなら途中式含めて教えてください。

基本 例題5/ 高次式の値 x=1+√2のとき,次の式の値を求めよ。 P(x)=x^-4x3+2x2+6x-7 93 い 基本8 [① 根号と虚数単位iをなくす ] 指針x=1+√2iをそのまま代入すると,計算が大変である。このようなタイプの問題では,計 算が複雑になる要因を解消する手段 (次の手順①,②) を考える。 x=1+√2iから x-1=√2i この両辺を2乗すると (x-1)=-2 ← -根号とが消える [ ② 求める式の次数を下げる] (x-1)²=-2を整理すると x²-2x+3=0 A24 P(x) すなわち x-4x3+2x2+6x-7をx²-2x+3で割ったときの商 Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式 (恒等式) が導かれる。 P(x)=(x²-2x+3)Q(x)+R(x) Lx=1+√2iのとき,= 0 ! 1次以下 x=1+√2i を代入すると,右辺は 0Q(1+√2i)+R(1+√2i) となり, 1次式の値を求めることになる。 2章 TE 10 次数を下げ る 剰余の定理と因数定理 CHART 高次式の値 次数を下げるあるからQZ 解答 x=1+√2iから x-1=2i 両辺を2乗して (x-1)2-2 整理すると x2-2x+30 ① < x=1+√2iは①の解。 P(x) を x2-2x+3で割ると, 右のようになり 商x²-2x-5 余り 2x+8 1 -2 -5 -231-4 1 -2 である。 よって P(x)=(2-2x+3)(2x-5) x=1+2iのとき、①から P(1+√2i)=0+2(1+√2i) +8=10+2√2 i <検討参照。 別解 ①まで同じ。 ①から x2=2x-3 よって x3=x2.x=(2x-3)x=2x2-3x=2(2x-3)-3x=x-6 x=x3.x=(x-6)x=x2-6x=(2x-3)-6x=-4x-3 ゆえに P(x)=(-4x-3)-4(x-6)+2(2x-3)+6x-7=2x+8 よって P(1+√2i) = 2(1+√2i) +8=10+2√2 i 検討 恒等式は複素数でも成り立つ -2 -1 -2 -5 12 -5 -6 6 5231455 -7 -6 -7 10-15 28

以下のように考えたのですが，それがダメな理由を教えてください。

323 を求めよ。 とき、定数 α. 198 203、 e=a を代入す 。 の求め方 重要 例 例題 201(x-α) で割ったときの余り(微分利用) xについての多項式f(x) を (x-α)2で割ったときの余りを, a, f(a), f' (a) を 用いて表せ。 指針 多項式の割り算の問題では,次の等式を利用する。 A = B × Q+ R 割られる式割式余り [早稲田大 ] /p.321 参考事項, 重要 57 2次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから f(x)=(x-a)2Q(x)+px+g [Q(x)は商,pg は定数] が成り立つ。この両辺をxで微分して,商Q(x) が関係する部分の式が0となるよ うな値を代入すると,余りが求められる。 f(x) を (x-α)2で割ったときの商をQ(x) とし, 余りを f(x)=(x-a)(x)+px+q ① 両辺を xで微分すると 解答 x+g とすると,次の等式が成り立つ。 f(x)={(x-a)2Q(x)+(xa)2Q(x)+p =2(x-a)Q(x)+(x-a)'Q'(x)+p ①②の両辺にx=a を代入すると,それぞれ f(a)=pa+g ③, f'(a)=p... p=f'(a) 1)に従って求 を求めて る。 例題 200 ( 1 ) ■方が早い。 ④から ならS よって,③ から ■+h)-f(-2) したがって, 求める余りは -f(-2) -(-2) h ...... ②② ④ q=f(a)-pa=f(a)-af'(a) xf' (a)+f(a)-af' (a) (1+01) 余りの次数は,割る式 の次数より低い。 {f(x)g(x)}' =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) { (ax+b)"} =n(ax+b)"' (ax+b)' (p.321 参照。) (x)の定 $1 (x-α) で割り切れるための条件 f(x)が (x-α) で割り切れることは,上で求めた余り xf (a)+f(a)-af' (a) が恒等的に 0 になる、ということである。 (am) 1000= (a+01) xf (a)+f(a)-af' (a) =0がxについての恒等式となるための条件は f'(a) = 0 かつ f(a f(a)=f'(a)=0 これより,f(a)=f(a) = 0 が得られる。 よって、 次のことが成り立つ。 多項式f(x) (x-α)' で割り切れるための必要十分条件は 9355 大阪工大) 6 章 34 3 微分係数と導関数 このとき, 方程式f(x)=0は(x-a)2Q(x)=0の形になる。 したがって、この条件は、方程式(x) = 0 がx=αを重解にもつ条件であるともいえる。 xについての多項式f(x)について,f(3) =2, f'(3) =1であるとき,f(x) を SOS 201 (x-3)で割ったときの余りを求めよ。((財) p.326 EX128(2)、 す。 -1)=0で 神奈川大] EX128 (1)

数学II恒等式の問題です。 写真の練習21で、恒等式の最高次の係数を比較することは理解しているのですが、この[1]と[2]を記述する意図が分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

この連立力性を解く 練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数a,bに対し,常に @21 f(x2)={f(x)-ax-b}(x-x+2) が成り立っている。このとき,f(x)の次数およびα,bの を求めよ。 HINT f(x) n次式であるとして, 恒等式における両辺の式の次数が等しいことに着目する。 an=0, n=1, n≧2 で分けて考えるとよい。 f(x2)={f(x)-ax-b}(x²-x+2) f(x) をn次式とすると ① とする。 [1] = 0 すなわちf(x)=1のときは明らかに①を満たさず, 不適。 [2] n=1のとき ←① の左辺は 1, 右辺は 3次式 f(x)=x+c(cは定数)とする。このとき,①の左辺は2次 ←f(x2)=x2+c 式である。 a=1のとき, ① の右辺は3次式となるため,不適。 a=1かつ6=cのとき,右辺は0となるため,不適。 a=1かつb≠cのとき,右辺は2次式となる。 このとき (① の左辺) =x2+c (①の右辺)=(c-b)(x2-x+2) b-c≠0であるから, ①を満たす b, cの値は存在しない。 よって、不適。 [2] n≧2のとき ①の左辺は 2 次式で, 右辺は (n+2) 次式である。 ←f(x)-ax-b=(1次式) ←f(x)-ax-b=0 ←f(x)-ax-b=c-b (1) (左辺)=x+2x+4x +8x + 16x -2x-4x4-8x3-16x2 =x-64 よって、等式は証明された。 (2)()=a²x²+a²y²+a²z²+b²x² +c²x²+c²y²+c² z² - (a +2abxy+2bcyz+2caz =ay2+az+62x2+62z -2abxy-2bcyz-2ca (右辺)=dy2-2abxy+b2x2+1 +c2x2-2cazx+a222 左辺と右辺が同じ式になるから, 練習 a+b+c=0のとき,次の等式た ② 23 a² (a+b)(a+c) (6+ + a+b+c=0より, c = -(a+b a² (左辺 = + (a+b)(-b)+( ←この式の1次の項の係 数は b-c -a-b3+(a+b) ab(a+b) したがって,等式は証明され 別解 a+b+c=0 より, a+b=-c,a+c=-b

基本例題114についてです！！ (1)では、場合分けしないのに(2)では、場合分け(m＝0、m≠0)するのがわかりません😭解説お願いします！

解答 基本例題 114 2次方程式の実数解の個数 (2) 1 00 (1) 2次方程式 2x2-kx+k+1=0が実数解をもたないような、定数kの値の範 囲を求めよ。 (2)xの方程式mx2+(m-3)x+1=0 の実数解の個数を求めよ。 指針 か.169 で学んだように、2次方程式 ax+bx+c=0 の実数解の有無や個数は、 基本100 判別式 D=62-4ac の符号で決まる。 実数解の個数 異なる2つの実数解をもつ ⇔D> 2個 ただ1つの実数解 (解) をもつD=0 実数解をもたない <<D<0 1個 193 20個 (2)x2の係数に注意。m=0とm≠0の場合に分けて考える。 (1)この2次方程式の判別式をDとすると ( D=(-k)-4-2(k+1)=k-8k-8 2次方程式が実数解をもたないための必要十分条件は よって D<0 k2-8k-8<0 k2-8k-8=0を解くと したがって 4-2√6 <k<4+2√6 (2) mx2+(m-3)x+1=0 k=4±2√6 ① とする。 これを解くと x= 1 よって、実数解は1個。 3 [1]m=0のとき,①は -3x+1=0 ( <k= [2] m≠0のとき, ① は2次方程式で, 判別式をDと D=(m-3)2-4・m・1=m²-10m+9 すると =(m-1)(m-9) これを解いて D>となるのは, (m-1)(m-9)>0のときである。 m<1, 9<m であるから このとき,実数解 (1)) − (−4)±√(−4)² −1·(−8) 問題文に 2次方程式と 書かれていないから 2 次の係数が0となる m=0 の場合を見落とさ ないように。 =0 の場合は1次方程 式となるから、判別式は 使えない。 この点に注意 必要 <00<m<1,9<m(単にm<1,9<m だけ では誤り! m≠0で あることを忘れずに。 D = 0 となるのは, (m-1) (m-9)=0のときである。 これを解いてm=19 このとき, 実数解は1個 D<0となるのは, (m-1)(m-9) <0のときである。 これを解いて 1<<9 このとき, 実数解は0個。 以上により <0,0<<1,9<m のとき 2個[1], [2] の結果をまと 1<<9の範囲に m=0は含まれていな m=0, 1, 9のとき 1個 > 1 <m<9 のとき 0 個 × (1+) (+) 1->ve- Jeb

次の問題の青いとこら辺の割る作業のところで急に出てきたk？とはなんなのでしょうか？どたなか解説お願いします🙇‍♂️

3 a, b, c を実数とする。 次の2つの条件 (A), (B) を満たす3次関数 f(x) = x + ax° +bx+c を求めよ。 (A) f(x) はその導関数f'(x)で割り切れる。 (B) f(1) = 0 f(x) = x+ax²+bx+c より f'(x) = 3x +2ax+6 条件 (A)より, f(x) はf'(x) 割り切れるから x+ax²+bx+c= (1/2x+k) (3x²+2ax+b) ↓ とおける。 右辺を展開して整理すると x+ax+bx+c = x +(zza+3k)x+(1/3b+2ak)x+bk これがxについて恒等式であるから, 係数を比較すると 2 a = a+3k . 1 1 b - b+2ak 3 bk また, 条件 (B) より 1+a+b+c=0 ① より a = 9k ⑤ ②. ⑤ より b=3ak=27k (6) ③ ⑥ より c = bk = 27k³ ⑤ ⑥ ⑦ を④に代入すると , (1+3k)=0 となり よって, ⑤ したがって 1 k = 3 1 + 9k + 27k+27k = 0 ⑥ ⑦より a = -3, 6=3, c = -1 f(x)=x-3x+3x -1 ( 東京学芸大 ) f(x)=g(x).f'(x) が成り立ち, f(x) は3次 式, f'(x)は2次式であ るから, g(x)は1次式で ある。 また, 両辺のxの 係数を考えると, g(x) の xの係数は 1.1 である。 3