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これは「なぜそうおくとうまくいくか」の説明はできますが、
「なぜそう思いつくのか」の説明はできません
理解して覚えてしまった方がいいです

機械的にk(x+y-4)+2x-y+1 = 0……☆
という方程式をつくります

①☆はx,yの1次式なので、何らかの直線を表します

②2直線の交点はx+y-4=0、2x-y+1=0をともに満たすので、
交点は☆も満たします
よって☆は交点を通ります

①②より、☆は、2直線の交点を通る直線になります

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