整数の問題で、何となくmod使って解いたら合ってました。が、どういう原理なのかが分かってません。解説よろしくお願いします。

必須問題 58 割ると同じ余りになる3つの数 3つの整数 53,95,179 は,ある正の整数αで割ると余りがすべて等しくなる。 (1) このような正の整数αのうち、最大の素数はアである。 (2) このような正の整数αのうち、最大の奇数はイ である。 (3) このような正の整数αのうち,最大の偶数は ウである。 (東海大)

（1）ではなぜ余りの部分をax²+bx+c にしないのかと、途中の式変形を教えていただきたいです。 （2）ではなぜ3k,3k+1,3k+2と場合分けしているのかを教えていただきたいです。

28 第1章 式と証明 問 9 整式の割り算(3) m, nは正の整数とする。 (1) 3m +1 を 1 で割ったときの余りを求めよ。 (2) +12+x+1で割ったときの余りを求めよ。 これは=0 (n (室蘭工業大) 以上より、 + n=3k(k → 精講 (2) (1)において -1=(x-1)(x2+x+1) より, n=3kのとき は、処理済です. あとは, n=3k+1,3k+2 と場 合分けして調べていきましょう. (1) cam=(x3-1+1)^ = (X+1)" とみて展開 (1) まずは3m を -1で割るこ解法のプロセス とを考えます. n=3k+1 n=3k+2 (2)n=3k, 3k+1, 研究 (2) 3k+2 と場合分けする 解答 (1) x3m+1=(x3)"+1=(x-1+1)"+1 X=x-1 とおいて二項展開すると x3m+1= (X+1)"+1 ={(Xの1次以上の整式)+1}+1 =X(Xの整式)+2 =(-1) (zの整式) +2 よって, x3m+1 を-1で割った余りは 2 (2)(1) より が正の整数のとき これは 二項定理より た余り (X+1)m =mCoX™•10+mCiX~1.14+ この ...+mCmX1" すなわ よい 3k+1=(x-1)(x の整式) +2 である. =(x-1)(x²+x+1)Q(x)+2 (Q(x)はxの整式) n=3k のとき, "+1 を x'+x+1 で割った余りは2である. n=3k+1 のとき,①の両辺にxをかけて, 変形すると 3k+1+x=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+2x 3k+1=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+m ・② 3k+1+1=(x2-x)(x'+x+1)Q(x)+x+1 これはk=0 (n=1) のときも成り立つ. n=3k+2 のとき,②の両辺にxをかけて, 変形すると mak+2=(x-x2)(x'+x+1)Q(x) +x m3k+2+1=(x-x2)(2+x+1)Q(x)+x2+1 =(x-1)(x'+x+1)Q(x)+(x²+x+1)-x で

ガウスを不等式の中に入れてるのってどういう意味ですか？

基本 例題 23 数列の極限 (6) ・・・ はさみうちの原理 3 △ 45 ①①① (1) 実数x に対して[x]をm≦x< m+1 を満たす整数とする。 このとき, [102] lim 102m を求めよ。 (2) 数列{an) の第n項 α7 はn桁の正の整数とする。 このとき, 極限 [山梨大) logio an lim を求めよ。 72 [広島市大〕 基本21 指針 この問題も、極限が直接求めにくいので、はさみうちの原理を利用する。 (1) [x] をはさむ形を作る。 x]はガウス記号であり (「チャート式基礎からの数学 I+A」 p.121 参照) [x]≦x< [x]+1 が成り立つ。 これから (2) α は n桁の正の整数 10" 'Man<10" (数学ⅡI) (1)任意自然数nに対して, [102] 10°"z<[10%"z]+1 102-1< [102]≦102 1 [102] < 10²n 102n x-1<[x]≦x <[x]≦x<[x]+1 2章 ③数列の極限 2限 [102] をはさむ形。 から 解答 よって 1 limπ 201 102πであるから [102] lim π はさみうちの原理。 102n 12-00 (2) α は n桁の正の整数であるから 各辺の常用対数をとると 10"-1≦an<10" n-1≦10g10an<n 10g1010=n よって 1 log10 an <1 n n lim (1-1) =1であるから lim log10 an 1 はさみうちの原理。 12-00 n 7→80 注注意 はさみうちの原理を誤って使用した記述例 例えば、前ページの例題22の解答で, A 以降を次のように書くと正しくない答案となる。 0<<6 Aから n² 0<lim- <lim → 2 6 n =0 よって lim n2 =0 2 [説明] はさみうちの原理は 818 an≦cn≦bn のとき lima= limb = αならば limc=α →80 n00 これは, 「acn≦bn が成り立つとき, 極限lima, limb が存在し, それらがαで一致する ならば,{c}についても極限limc が存在し, それはαに一致する」という意味である。 72700 72100 において, 存在がまだ確認できていない極限lim を有限な値として存 上の答案では, 在するように書いてしまっているところが正しくない。 正しくは、 前ページの解答のA, B のような流れで書く必要がある。 n² 11-00271 練習 実数 α に対してαを超えない最大の整数を [α] と書く。 [ ]をガウス記号という。 23 (1) 自然数の桁数kをガウス記号を用いて表すと, k =[[ ] である。 (2)自然数nに対して3”の桁数を km で表すと, lim- kn 12-00 n "である。 [慶応大]

至急お願いします！！確率と数列の融合問題です。解き方と解答をお願いします💦

次の問に答えよ. (1)64つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか。 ただし, 1 + 1 + 1 + 3 と 1 +3 + 1 + 1 のように順序が異なる ものは区別する. (2)正の整数を4つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか”を用いた式で表せ。ただし,n≧4 とする. (3)正の整数nk個の正の整数の和で表す方法をα(k)通りとする. ak)をnkを用いた式で表せ。 ただし, 2≤k とする. (4) a(kg)を”を用いた式で表せ。ただし,n≧2 とする。 k=2

️‼️‼️至急‼️‼️‼️ 1.（2）が分からないので教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

1.y=tan 'について,次の等式を証明せよ. ただし, n は正の整数とする. (1) (1+z^)y' = 1 (2) (1+2)y(n+1) +2nxy(n)+n(n-1)y(n-1)=0

例題169についてです。 自分の答えだと、どうしても答えが28通りになってしまうのですが、何故でしょうか、 あと、151-123+1の意味を教えて欲しいです

252 中央値がとりうる値 基本 例題 169 基本 167 000 a この値は 次のデータは、6人で行ったあるゲームの得点である。 ただし, 数である。 138.79 123,185,151,a (単位は点) aの値がわからないとき、このデータの中央値として何通りの値がありうる 指針 中央値の問題は大きさの順(小さい順) にデータを並べる ことが第一である。 データの大きさがあ このとき、データの大きさが6であるから, 3番目と4番目の 値の平均が中央値となる。 L 中央の2つの値の早 四分位数 基本 次のデ ある。 (1) そ いを CHART 中央値 データの値を、値の大きさの順に並べて判断 解答 データの大きさが6であるから, 中央値は,小さい方から3番目と4番目の値の平均 ある。 α以外の値を小さい順に並べると 79,123,138, 151, 185 この5個のデータの中央値は 138 よって, αを含めた6個のデータの中央値は (2) そ 求め (3) そ 基つ 指針> ( (3 123+138 138+151 138+α 2 (ただし, 124≦a≦150) 2 2 のいずれかである。 138+α ゆえに,中央値は (ただし, 123≦a≦151) 2 αは正の整数であるから, 中央値は151-123+1=29 (通り)の値がありうる。 [補足] [1] a≦123のときの中央値は 123+138 =130.5 2 [2] α≧151のときの中央値は 138+151 2 =144.5 [3] 124≦a≦150のときの中央値は a+138 2 [1] α, 79, 123.138.151. I または 79,α, 123.138.151. [2] 79.123.138.151.. または 79, 123, 138, 151, 185 [3] 79, 123. a. 138, 151 または 79, 123, 138.α.151. 解答 (1) A A班の (2) A] ! Q2 B班- ゆえ Qz (3)A B班 次のデータは10人の生徒のある教科のテストの得点である。 ただし、xの値は ③ 169 の整数である。 4355,x64,36, 48, 46, 71,6550 (単位は点) xの値がわからないとき、このデータの中央値として何通りの値がありうるか B班 れる 練習 170

確率と数列の融合問題です。解き方が分からないので至急お願いします！！！

次の問に答えよ. (1)64つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか。 ただし, 1 + 1 + 1 + 3 と 1 +3 + 1 + 1 のように順序が異なる ものは区別する. (2)正の整数を4つの正の整数の和で表す方法は何通りあるか”を用いた式で表せ。ただし,n≧4 とする. (3)正の整数nk個の正の整数の和で表す方法をα(k)通りとする. ak)をnkを用いた式で表せ。 ただし, 2≤k とする. (4) a(kg)を”を用いた式で表せ。ただし,n≧2 とする。 k=2

ちんぷんかんぷんです。

例題15 二項係数の関係式(2) **** nを正の整数として,次の等式を証明せよ. (1)C2+,C2+,C2+,C32++„C2=2Cn (2) 2≦n,r= 1, 2, …………, n-1 のとき, C,="-1C,+n-1Cr_1 考え方 (1) (1+x)2"=(1+x)". (x+1)" であるから, (1+x)2" の展開式における x”の係数と、 解答 Focus (1+x)"×(x+1)" の展開式におけるx”の係数は一致する. (2)(1+x)=(1+x)(1+x)"-1であり、両辺のxの係数は一致する. (1) 二項定理(a+b)"="Coa"+"Cia" 'b+"Caa"-262+......+"C„b" において、 a=1, b=x とおくと, (1+x)"="Co+,Cix+nC2x2+....+nCnx" a=x, b=1 とおくと (x+1)"="Cox"+"Cix”-1+nCzx"-2+.. (1+x)2" = (1+x)"(x+1)" が成り立ち, (1+x)2" の展開式におけるx”の係数は 27 Cn ... ① また, (1+x)". (x+1)" =(nCo+"Cix+n2x++〃nx") („Cox" + "C₁x" + "C₂x" - 2 + .....+nCn) の展開式における x” の係数は, nCoXnCo+miXn1+C2X2+......+nCn×nCn =nCo2+ "Ci2+nC22+, 32 ++,C2 ...... ② ①,②は一致するから, no2+12+2+„C32++Cn2=2nCn (2)(1+x)"=(1+x) (1+x)"-1 である. (右辺) = (1+x) (n-1Co+n-1Cix+n-1C2x2+ の展開式におけるxの係数は,2≦n,r=1,2, n-1 -1Cr+n-1Cr-1 である. +nCn +n-1Cn-1x-1) (E) ......,n-1より、 これは,左辺 (1+x)" の展開式における x”の係数,C, と一致する. よって, 2≦n,r= 1, 2,.......n-1のとき Cr=n-Cr+1Cr-1 . (1+x)^n=(1+x)"(x+1)", (1+x)"= (1+x) (1+x)" などの 展開式における係数から、二項係数のいろいろな関係式が生まれる 注〉 (2) C-1C,+n-1Cr-」 が表す意味 人の中から人を選ぶ方法 (,,通り)は、ある特定の1人を含まないつまり、 残り (n-1)人の中から人を選ぶ方法 (7-1C,通り)とその特定の1人を必ず 含む、つまり、残り(n-1) 人の中から (r-1) 人を選ぶ方法 ( わせたものである。 通り)を合

この問題の⑵の解法が解説解答と違っていて合っているかわかりません！ これで合っていますか？

277. 〈正の整数の逆数の平方和に関する不等式〉 各項が正の整数である数列 {an} が,条件 ****** a <az <a<······ <an <an+1 < ..... を満たすとき, 次の問いに答えよ。 (1) すべての正の整数nに対し, an≧n が成り立つことを示せ。 8 (2) nian <2であることを示せ。

数Aの質問です！ (１)の答えの 3の2017乗を３の４乗の504乗にする 計算式を分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

ます······の合同式を考えるとよい。 4 3 PRACTICE 124° を用いて、次の問いに答えよ。 ) 132017 を5で割ったときの余りを求めよ。 "+6rn+s+...... については, See 900001 1 SOF [類 名古屋市大] (2) すべての正の整数nに対して, 33-2 +53-1 が7の倍数であることを証明せよ。 [類 弘前大] PR 合同式を用いて,次の問いに答えよ。 124 (1) 132017を5で割ったときの余りを求めよ。 (名古屋市大) (2) すべての正の整数nに対して、+5が7の倍数であることを証明せよ。(類 弘前大) (1) 13=3 (mod 5) であり 32=9=4 (mod 5 ) 3’=(3)=4=16=1 (mod 5) よって 13800732017 (3').3=1-3=3 (mod 5) ゆえに、求める余りは3 (2)33=276 (mod 7), 53=1256 (mod 7) であり 33n-2=33(n-1)+1=(33)*71.3 53n-153 (n-1)+2=(53)"-1.52 93n-23n-1-(23)-1.21 (3)-1.2 3=9=4 (mod 5) 3=4.3=2 (mod 5) 3=2-3-1 (mod 5) と考えてもよい。 a=aa a=(a)"