例題15
二項係数の関係式(2)
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nを正の整数として,次の等式を証明せよ.
(1)C2+,C2+,C2+,C32++„C2=2Cn
(2) 2≦n,r= 1, 2,
…………, n-1 のとき, C,="-1C,+n-1Cr_1
考え方 (1) (1+x)2"=(1+x)". (x+1)" であるから, (1+x)2" の展開式における x”の係数と、
解答
Focus
(1+x)"×(x+1)" の展開式におけるx”の係数は一致する.
(2)(1+x)=(1+x)(1+x)"-1であり、両辺のxの係数は一致する.
(1) 二項定理(a+b)"="Coa"+"Cia" 'b+"Caa"-262+......+"C„b" において、
a=1, b=x とおくと,
(1+x)"="Co+,Cix+nC2x2+....+nCnx"
a=x, b=1 とおくと
(x+1)"="Cox"+"Cix”-1+nCzx"-2+..
(1+x)2" = (1+x)"(x+1)" が成り立ち,
(1+x)2" の展開式におけるx”の係数は 27 Cn ... ①
また,
(1+x)". (x+1)"
=(nCo+"Cix+n2x++〃nx")
(„Cox" + "C₁x" + "C₂x" - 2 + .....+nCn)
の展開式における x” の係数は,
nCoXnCo+miXn1+C2X2+......+nCn×nCn
=nCo2+ "Ci2+nC22+, 32 ++,C2 ...... ②
①,②は一致するから,
no2+12+2+„C32++Cn2=2nCn
(2)(1+x)"=(1+x) (1+x)"-1 である.
(右辺) = (1+x) (n-1Co+n-1Cix+n-1C2x2+
の展開式におけるxの係数は,2≦n,r=1,2,
n-1
-1Cr+n-1Cr-1 である.
+nCn
+n-1Cn-1x-1)
(E)
......,n-1より、
これは,左辺 (1+x)" の展開式における x”の係数,C, と一致する.
よって, 2≦n,r= 1, 2,.......n-1のとき
Cr=n-Cr+1Cr-1
.
(1+x)^n=(1+x)"(x+1)", (1+x)"= (1+x) (1+x)" などの
展開式における係数から、二項係数のいろいろな関係式が生まれる
注〉 (2) C-1C,+n-1Cr-」 が表す意味
人の中から人を選ぶ方法 (,,通り)は、ある特定の1人を含まないつまり、
残り (n-1)人の中から人を選ぶ方法 (7-1C,通り)とその特定の1人を必ず
含む、つまり、残り(n-1) 人の中から (r-1) 人を選ぶ方法 (
わせたものである。
通り)を合
