124.1 n≡1,3,5,7(mod8)とはどういうことですか？

D U う。 7 演習 例題 124 合同式を利用した証明 (2) on は奇数とする。 このとき,次のことを証明せよ。千葉大 ] (1218の倍数である。 (2)は3の倍数である。 3 10の倍数である。 決まった数の割り算(倍数)の問題では合同式の利用の方針の解答を示す。 指針▷ (1) は法8の合同式を利用し, (②)は法3の合同式を利用することはわかるが, (3) を法120 の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで, (1), (2) は(3) のヒントに従って n³_n=n(n²+1)(n²-1) は 8×3=24の倍数 考えると (2) から、3の倍数↑↑↑ (1) から8の倍数 120+24=5であるから、後は,n-nが5の倍数であることを示せばよい。 解答 (1) nは奇数であるから n n=1,3,5,7 (mod 8) このとき、 右の表から n²-1=0(mod 8 ) よって、nが奇数のとき, ²-1は8の倍数である。 (2) 2012 (mod3)のとき, 右の表から-n=0 (mod3) よって は3の倍数で ある。 n 1 3 19≡1 0 0 2 nº n²- 2 n n5-n 0 5 7 25=1 49=1 0 0 || (3) n5-n=n(n²+1)(n²−1) ここで,(1) から²-1は8の倍数であり,これと (2) から, ninは24の倍数である。 0 1 2 n n5 0 15 1 25=2 n n 0 0 0 ゆえに -n が 120の倍数であることを示すには,n-n が5の倍数であることを示せばよい。 n=0,1,2,3,4 (mod5)のとき, n-nを計算すると, 次の表のようになる。 0 1 0 15=1 0 って ns-n=0 (mod 5) したがって, nn は 8 かつ3かつ5の倍数, すなわち120 の倍数である。 3 4 2 25=2 35=3 45=4 0 0 0 演習 123 n は奇数であるから, 8で 割った余りが偶数になるこ とはない。 条件では, n は奇数である が すべての整数nについ ては3の倍数であ る。 120=3-5-8 5 を法として 35=34-3=1.3, 4°=4.4≡(42)2.4=1･4は M 3と5と8は互いに素。 の特集 TURAL で割り切れない奇数のとき, n-1は80で割り切れることを証明せよ。 5でも割り切れない整数のとき, n-1は240で割り切れ 497 4章 19 発展合同式 ･ある。 ある。 :-1) たと 数は, 2) 数で ある には, ①へ。 5 るな を満 つ。 5 る n進 いう。 14234

122.1.ア 記述これでも大丈夫ですか？？

は る)。 D a ある。 pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用… 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 (1)(ア) 13109で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り[(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 [(2) 類 自治医大 ] p.492 基本事項 ③3 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 法則 (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また, 合同式を利用して,指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 α” のα を指数の底という。 なる。 特に, an≡1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 ESTAH I 11 (2) ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 ...... 4 自然数nに対し a"=6"(mod m) (ア) 13 4 (mod 9) であり 42=167 (mod 9), 43=64=1 (mod 9 ) ゆえに 41004 (43)33=4(mod9 ) よって13100=41004 (mod9) したがって 求める余りは 4 (イ) 20008 (mod 12) であり 8³ 8.4 8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって したがって、求める余りは 4 477 (mod 10) であり 7³ 9.7 3 (mod 10), 羽 8²=64=4 (mod 12), 84≡(82)2=424(mod 12) 82k=4 (mod12) 20002000 82000=4 (mod 12) 72=49=9 (mod 10), 74=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.73=1502･3=1.3=3 (mod 10) 472011=72011=3 (mod 10) したがって 472011 の一の位の数は 3 CHARO-[0] 13-4=9であるから 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4” に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 43 の方がらく。 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 2000" の計算は面倒。 2000を12で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 <47=10・4+7 2011=4・502+3 割った余り (イ) 30003000 を14で割った余り BST 495 4章 19 発展合同式 U る。 いる。 2) -1) でる にと は, は, う。 な 満 進 いう。

(２)のよって～の計画方法を分かりやすく教えてください。

119 合同式の利用 (2) 0 合同式を用いて,次の問いに答えよ。 例題 (1) 13 MH を9で割った余りを求めよ。 nが自然数のとき, 26F-5+3'" は11で割り切れることを示せ。 (2) CHART SOLUTION αをm²で割った余り まずは a²,a, で合同式を考える (1) 134 (mod 9) であるから, 48 を9で割った余りを考えればよい。 そして、 4=1 (mod 9) または A-1 (mod 9) となるkを見つけることが できれば,累乗はすぐに計算できる。 (2) 232-1 (mod !!) ではあるが,指数に文字が入っているため、うま く利用できない。 (1) 134 (mod 9) であり 指数がnの1次式になっている項の和+4+6++.....については,まず d", b,..... の合同式を考えるとよい。 4167 (mod 9) よって 14² 47.1 28 1 (mod 9) 13100 4100 (4³) 33.4 13.44 (mod 9) よって ゆえに 求める余りは 4 (2) 2649 (mod 11) 39 (mod 11) であり 26-5-20-11+1 (29) 2 00000 ((2) 類 学習院大) 32"=(3²)" 20-6+32" (2) "1.2+ (32)" 9"-¹.2+9" =9"-¹(2+9) =9"~1.110 (mod 11) 418, 419 PRACTICE 1199 421 ← 132, 13, ·····を考えて もよいが. の方が計算しやすい。 99⁰-1.9 -1≧0であるから 97-1は整数。 ゆえに,297-5 +327は11の倍数である。 参考 (2) は、数学Bで学習する 「数学的帰納法」という証明法を用いて証明することも できる。

この③で行き詰まってしまい解けなかったのですが普通にどうやって考えたら答えを導けますか？ あと式を見て二枚目の写真の1行目みたいに分けることからもう意味不です😣

発 例題 展 142 積和の公式の利用 次の式の値を求めよ。 (1) sin 15°cos 75° (2) sin105°+sin 15° 0000 (3) cos 10°+cos 110° + cos230°

数学3の問題です。なぜI枚目の方は絶対値を使わずに解けるのに2枚目の方の問題は絶対値を使って解くのですか。明日定期テストなので、早めに教えていただけるとありがたいです。

144 基本例題 88 数列の極限 (不等式の利用 (1) 1 (1) 極限 lim nπ を求めよ。 4 (2) ( 0 とする。 n が正の整数のとき, 二項定理を用いて不 (イ) (ア)で示した不等式を用いて, lim (1.001)"=∞ を証明せよ。 (1+h)" ≧1+nh を証明せよ。 CHART 解答 n→∞n sin SOLUTION 求めにくい極限 ① はさみうちの原理を利用 1 2 an≦bn で an→∞ ならば bn→∞ NT 4 ここで, lim n→∞ 口 (1) -1≦sin より (1) ans 1m/sin 7 by の形に変形して、はさみうちの原理を利用。そ an≦sin n 4 (-1)= 0, lim 1 NT 4 lim sin non かくれた条件 -1≦sin 0≦1 を利用。 (2) 二項定理 (a+b)"="Coa"+nCian-16+nCzan-262++,C+b" にお a=1, 6=h を代入。 - n→∞ n→∞ N 0 n n sin nπ 4 1 -=0 であるから 14 基本事項 PRI 1 n Fall BAKI 基 ◆各辺に一 [n] 85 はさみうち an a,b an≦chéb Cna

問題自体わかりません。 やり方を教えてもらいたいです🙇🏻‍♀️😭

25 □7 ある立方体の縦と横をそれぞれ1cmずつ縮め,高さを2 高次方程式の利用 倍に伸ばした直方体をつくると、体積が8cm 増えた。も p.36 例題5 との立方体の1辺の長さを求めなさい。 - x) + ³(I — v(x) = (1+x)(1+x) (S)

(5が分かりません。解説お願いします

76 第3章 化学反応式の利用 [50] 演習問題8 酸化還元反応 (1) 次の文を読み、(1) ~ (5) に答えよ。 必要があれば次の数値を用いること。 原子量 H=1.00=12.0, 16.0, S=32.1, K = 39.1, Mn=54.9 シュウ酸二水和物(COOH)2・2H2Oの結晶を水に溶かし,メスフラスコを用いて 0.0500 mol/L水溶液 を調製した。この水溶液 10.0 mL をホールピペットを用いてコニカルビーカーに入れ,純水を約20 mL 加え,さらに3mol/Lの硫酸水溶液を5mL加えた。 この溶液を約70℃に温めた後,濃度のわからない 過マンガン酸カリウム水溶液を器具Aを用いて少しずつ滴下した。 11.0mL滴下したときに溶液の赤紫色 が消えなくなったので,この点を滴定の終点とした｡ 反応 (1) シュウ酸二水和物 (COOH)2・2H2Oの結晶を水に溶かして 0.0500 mol/Lの水溶液を調製するのに最 も適当な方法を,以下の(ア) ~ (オ) から選び, 記号で記せ。 (ア) 結晶 4.50gを水1000mLに溶かす。 (イ) 結晶 4.50gを水995.5gに溶かす。 (ウ) 結晶 3.15gを水に溶かして500mLにする。 結晶 4.50gを水に溶かして1000mL にする。 (オ) 結晶 6.30gを水 993.7gに溶かす。 (2) この滴定の操作に用いた器具Aとして, 最も適当なものの名称を記せ。 (3) この滴定において, 過マンガン酸イオンがどのように変化したかを示す, 電子を含むイオン反応 式は以下のように表される。 式 (i) の(a) に当てはまる数値を記せ。 MnO4- +8H+ + (a) | e → Mn²+ + 4H2O (i) この滴定において, シュウ酸がどのように変化したかを示す,電子を含むイオン反応式は以下の ように表される。 式 (ii) の (b)に当てはまる化学式を記せ。 (COOH)2 → 2 (b) + 2H+ + 2e¯ (ii) ③ 式 (i)および式(i)より,硫酸酸性水溶液中における過マンガン酸カリウムとシュウ酸の酸化還 元反応の反応式を記せ。 (4)下線部のように,この反応は硫酸酸性水溶液中で行う必要がある。この反応では,硫酸のかわりに硝 酸を用いることができない理由を 15 字程度で記せ。 (5)この滴定で用いた過マンガン酸カリウム水溶液の濃度は何mol/Lか。 有効数字3桁で求めよ。 (甲南大) BRO

至急です、この問題の解説をお願いしたいです

74 第3章 化学反応式の利用 演習問題7 酸塩基反応 (2) ある食品 2.0gをはかり取り、容器に移して濃硫酸を加えて加熱し、含有窒素分をすべて硫酸アンモニ ウムとした。これに濃い水酸化ナトリウム水溶液を加えて加熱し、発生した気体を0.100 mol/Lの硫酸 50.0 mLに完全に吸収させた。この溶液にメチルオレンジを加えて, 0.200mol/Lの水酸化ナトリウム水 溶液を加えたところ, 18.0mLで溶液は変色した。 この食品中のタンパク質には窒素が 16.0 質量パーセント含まれるとしたとき, この食品中に含まれる タンパク質の質量パーセントはいくらか。 解答は小数点以下第1位を四捨五入して示せ。 ただし,窒素 はタンパク質以外には含まれないものとし,また,各元素の原子量は, H=1, N=14,0=16, Na=23, S=32 とする。 カルピーカーにとり､ (東京工大)

この問題の解説をお願いしたいです

58 第3章 化学反応式の利用 演習問題4 反応量計算 (1) 100 ODIS+OS - |水溶液中のイオンの濃度は, 電気の通しやすさで測定することができる。 硫酸銀 Ag2SO4 および塩化バ リウム BaCl は、水に溶解して電解質水溶液となり電気を通す。一方, AgaSO4水溶液と BaCl2 水溶液を 混合すると,次の反応によって塩化銀 AgCl と硫酸バリウム BaSO』の沈殿が生じ、水溶液中のイオンの濃 度が減少するため電気を通しにくくなる。 この性質を利用した次の実験に関する問いに答えよ。 ト デザ合同 Ag2SO4 + BaCl → BaSO4 ↓ + 2AgCl ↓ 周辺に加えて火を使用する。 +₂+(08)0028+02 H+ OH M H8+ 296) (8) 実験 0.010 mol/LのAg2SO 水溶液100mLに濃度不明のBaCl2水溶液を滴下しながら混合溶液の電 気の通しやすさを調べたところ, 表1に示す電流(μA)が測定された。ただし, 1μA = 1 × 10-Aであ *MS る。 0.0₂ H+H+OMS ①① 3.6 0,"+1CH" + SH TA 200 DH₂O, +36 SOBE 表1 BaCl2 水溶液の滴下量と電流の関係 ② 4.1 BaCl2 水溶液の滴下量(mL) 10) 2.0 3.0 4.0 5.0 6) CSIRU11940 6.0 7.0 ③ 4.6 Pel ④ 5.1 90+ *HM + 0.0.8+08H8 +0MHS A 電流 ( μA ) 2.H (c) 70 44 18 13 41 67 4,08 HS+2 ob + *HA + $08 380, @18X0 1 この実験において, Ag2SO を完全に反応させるのに必要な BaCl2 水溶液は何mLか。 最も適当な 数値を、次の①~⑤のうちから一つ選べ。 必要があれば, 右の方眼紙を使うこと。 02 +8HS Atl.08 SU S+HS+ O₂H OS + I 18 (5) 5.6+1 DIS+0₂H +0µÐ»0«MH-OH-

数Ⅲの極限です。 (1)の[2]において、赤字の式変形がよくわかりません。解説お願いします。

例題127 2" すべての自然数nに対して、 +1 が成り立つことを証明せよ。 1 1/2 ² 1/2+1 k=1k 無限級数 1+ 13 1 H 数学的帰納法によって証明する。 22" とすると 2/1/27/2+1 n=1のとき 11/13 +…………+ このとき + k=1 (1) は 0 に収束するから,か.201 基本例題 117 のように, p.199 基本事項 ② ② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 ここで,m→∞ のときn→∞となる。 n 1 k=1k 2m 1 + ······ は発散することを証明せよ。 n 1 k=1k ① とする。 21-1+1-1+1 =1+₁ = 2m+1 51-5+1 2 2 ² 2 = 2 2 ² 2 + 1 € 2m+1 k k=1 k ることの証明 k VIJI k=1 k mm は自然数)のとき, ① が成り立つと仮定すると 2011/16+1 m k=2m+1 1 2m+1 .2m= 00000 基本 117, 重要 126 m+1 2 よって, ①は成り立つ。 2 (+1)+2+1+2+2++200 1 1 m +. = ²² +1+2+1 +2° +2 +2° +2 2m+2m_ 2 2m+2 2m -+1 m +1+ 2 よって,n=m+1のときにも ①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。 2m IM ********* 1|k k=1 k All 12m+1=2m.2=2m +2m _________1_ -> 2m+k2m+2m (k=1, 2, (=2+₁) ......, 2m-1) CIX 2™ 1 ≥ m +1 213 4章 15 無限級数