XMAR3L-61C1-01
6|問題
いに答えよ。ただし, iは虚数単位とし, 点Cを表す複素数の虚部は0より小さいとする。
(25 点)
複素数平面上に正六角形 ABCDEFがある。 A(1-2i), B(13 + 62) とするとき, 次の各問
(8点)
(1) 点Cを表す複素数を求めよ。
(2) 正六角形の中心Pを表す複素数を求めよ。
(3) 点Dを表す複素数を求めよ。
(8点)
(9点)
ポイント
I
複素数平面上の正六角形を題材にして, 複素数平面上での点の回転移動を考えてもらう。一般
に,複素数平面上で,点 A(α) を, 点B(B)を中心に角0だけ回転した点は
(cos0+isin0)(α-B)+B
と表される。この公式を利用するうえで注意しなければならないことは, 角0は向きのついた角,
すなわち,符号つきの角度であることである。本間を通じて,複素数平面上での点の回転移動につ
いての考え方を正確に理解してほしい。
(1) 点A,Bを複素数平面上に表すのが第一歩。次に,点Cがどのような位置にあれば六角形
ABCDEF が正六角形になるか考えよう。正六角形の1つの内角の大きさに着目すると…。
(2)(1)と同様に正六角形の性質を利用して, 点Pの位置を点A, B, Cを用いて表現してみよう。
(3) ここでも,(1)や(2)と同様に, 正六角形の性質に着目するのがポイントである。
解答
mnm
m m l
(1) 点A, B, Cを表す複素数をそれぞ
れ る1. 22, Z3 とする。
2
π
ZABC =
π
B 子
TT
より,点Cは点Aを,点Bを中心に
土
-πだけ回転して得られるので
ー2
A
13
c*
このように,2つの場合が考
えられることに注意しよう。
23 =
COS
土
「ポイント」の (+)。
=(-キ)(-12-8:) +13+6i
1- 22
=6+4i千6,3 干4/3° + 13+6i (複号同順)
= (19±4/3) +(10年6/3)i (複号同順)
条件より、a の虚部は0より小さいので, 求める点Cを表す複素
=(1- 2i) - (13+6)
= -12- 8i
数は
吟味を忘れずに。
33 = (19+ 4/3) +(10-6/3)i
(2) 点Pを表す複素数を z0 とする。
