-
![]()
22
306
基本 例題 191 最高位の数と一の位の数
00000
126 は 桁の整数である。 また, その最高位の数は、一の位の数
は?である。ただし,logo2=0.3010, logo3 04771 とする。
logo N の整数部分,
指針 (ア)(イ) 正の数Nの桁数は
最高位の数は 10g10 N の小数部分に注目。
[慶応大
基本188)
なぜなら,Nの桁数をkとし,最高位の数をα (a は整数, 1≦a≦9) とすると
・10k 1≦N<(a+1)・10k-1
←
a000(0がk-1個) から α999 (9がk-1個)まで。
- 各辺の常用対数をとる。
⇔k-1+10g0a≦log10N <k-1+10g10(a+1)
10g10 (α・10-1)=10g0a+10g 10
⇔10gio (a・10k-1)≦10g10N<10g10((a+1)・10k-1}
よって, 100g10 N の整数部分をp 小数部分をg とすると
(ウ) 12',122,12,
p=k-1, logi0a≦g <log10(a+1)
を計算してみて、一の位の数の規則性を見つける。
(ア) 10g10126=601ogio (223)=60(210g102+10g103)
解答
【10g10126=6010g10 12,
=60(2×0.3010+0.4771)=64.746
12=22.3
ゆえに
64<log10 1260<65
(aе.0
(ae.o sas80
よって
1064 <126 <1065
したがって, 126 は 65 桁の整数である。
(イ)(ア)から
19
log1012=64+0.746
ae
100g
(イ)の別解 (ア) から
1260=1064.746=1064100.746
ここで
10g105=1-10g102
=1-0.3010=0.6990
180
gol
401
1000
=0.3010+0.4771=0.7781
10gto6=10g102+log10 3
log105 <0.746 <10g106
5<100.7466
Segol
ゆえに
すなわち
よって
5・10641064.7466・1064
すなわち
5.1064<1260<6.1064
したがって, 12% の最高位の数は
5 010.0
(ウ) 12′,122,123,124,125,
の一の位の数は、順に
2, 4, 8, 6, 2,
......
となり、4つの数2,4,8,6 を順に繰り返す。
60=4×15であるから, 12% の一の位の数は
10°/10°.746 <10'であるか
ら, 100746 の整数部分が
12 の最高位の数である。
ここで,
log105=0.6990 から
100.6990=5
10g10 6 = 0.7781 から
100.7781=6
100.6990
5100.746 <100.7781
から 5<100.7466
よって、最高位の数は5
122 (mod10) である
6
から12"の一の位の数
は, 2” の一の位の数と同
