例題4 鉛直ばね振り子
右の図のように、 軽いばねの一端を床に固定し,
他端に質量mのおもりを取りつけると, ばねが自
然の長さからdだけ縮んでつり合った。 その後, ば
ねが自然の長さになるまでおもりを持ち上げて静か
にはなすと, 鉛直方向に単振動を始めた。 重力加速
度の大きさをgとして、次の問いに答えよ。
(1) ばね定数はいくらか。
自然の長さ
d
d
解 (1) ばね定数とするとおもりにはたらく力のつり合いより,
mg-kd=0
よって,k=mg
d
(2) おもりにはたらく力(重力と弾性力)の合力をFとすると,
F=mg-k(x+d)=-kx=-
XC
of
(2) おもりがつり合いの位置から距離xだけ下側にあるとき, おもりにはたらく力
の合力はいくらか。 ただし, 鉛直下向きを力の正の向きとする。
(3) おもりの単振動の振幅 周期はそれぞれいくらか。
(4) おもりがつり合いの位置を通過するときの速さはいくらか。
10 つり合い
の位置
指針 おもりは、ばねが自然の長さからdだけ縮んだ位置 (つり合いの位置)を振
動の中心として, 単振動をすることに着目する。
IC
Touch
この式は、「F=-Kz」と同様の形 (K=k=mg) であることから,合力
式(16)
Fは復元力であり, おもりはつり合いの位置を振動の中心として, 単振動を
することがわかる。