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62
00000
基本例題 100 放物線とx軸の共有点の座標
次の (1)~(3) の2次関数のグラフはx軸と共有点をもつか。 もつ場合は、その
標を求めよ。
(1) y=x2-3x-4
(2) y=-x2+4x-4
指針▷ 2次関数y=ax²+bx+cのグラフとx軸の共有点のx座標は , 2次方程式
ax²+bx+c=0の実数解である。 したがって, 次のことがいえる。
共有点のx座標⇔方程式の実数解
D>0⇔2個
D=0⇔1個
D< 00個
また,2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4ac とすると, グラフとx軸の共有
点の個数は
→
→
解答
(1) x2-3x-4=0 とすると (x+1)(x-4)=0
よって x=-1,4
したがって, x軸との共有点は2個あり, その座標は
(-1, 0), (4, 0)
D≧
共有点をもつ
D<0⇔共有点をもたない
x2-4x+4=0...... (*)
(2) -x²+4x-4=0 とすると
ゆえに (x-2)²=0
よって
x=2 (重解)
したがって, x軸との共有点は1個あり, その座標は
(2, 0)
(3) 2次方程式 3x²-5x+4=0 の判別式をDとすると
D=(-5)-4・3・4=-23
D<0であるから, グラフとx軸の共有点はない。
(1) LA
(2) ye
(3) y
10 14 x
0
-4/
x
12 15
(3) y=3x²-5x+4
p.161 基本事項 ①.
o
6
that
<x-3x-4=0 の判別式を
Dとすると
D=(-3)²-4-1-(-4)
=25>0
(*)の判別式をDとすると
D=(-4)2-4・1・4=0
グラフはx軸に接し,点
(20) は 接点である。
[注意 2次関数のグラフとx
軸の共有点の有無だけなら,
D=64ac の符号を調べる
ことでわかるが、共有点の座
標を求めるときは,左の (1),
(2) のように2次方程式を解
く必要がある。
検討 2次関数のグラフがx軸と1点を共有する場合について
D=b-4ac=0のとき, 2次関数y=ax²+bx+cのグラフは,x軸とただ1点を共有し、共有点
のx座標は、2次方程式 ax²+bx+c=0の重解である。このような場合。 2次関数のグラフはx
軸に接するといい, その共有点を 接点という。