とも1つの円
に着目
+2a=0&
すると
2=a(x-l
放物線 リニュ
-2) の共有
≦x≦1の
考えてもより
を参照。
YA
重要例題144 三角方程式の解の個数
Capry
aは定数とする。0に関する方程式 sin' 0-cos0+α=0 について,次の問いに答
えよ。ただし, 0≦02とする。
00
[[大
(1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
(2)
この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。
指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると
前ページと同じように考えてもよいが、処理が煩雑に感じられる。 そこで、
x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1)
① 定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右
大辺に移項したx2+x-1=αの形で扱うと、関数y=x2+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直
線y=a の共有点の問題に帰着できる。
DET.
www.e
]
→ 直線y=a を平行移動して, グラフとの共有点を調べる。 なお, (2) では
方程式は
したがって
解答
cos0=xとおくと、0≦0<2πから
(1-x2)-x+α=0
x2+x-1=a
f(x)=x2+x-1 とすると f(x)=(x+
(1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で、関数 y=f(x) の
グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。
5
よって、 右の図から
･≦a≦1
(2) 関数 y=f(x)のグラフと直線y=α の共有点を考えて、
求める解の個数は次のようになる。
[3]
x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個,
-1<x<1であるに対して0は2個あることに注意する。
5
[2] a=--
5
4
5
4'
—
練習
144
A
[1] a<-- 1 <a のとき共有点はないから 0個
のとき, x=--
<a <1のとき
-1exelt
2
2
から 2個
5
4
-1<x<--<x-
れぞれ1個ずつあるから 4個
[4] α=-1のとき, x=-1, 0 から 3個
<x<0 の範囲に共有点はそ
[6]
[5]
[4]
この解法の特長は、放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
[3]→
友量[2]-
[6]→
[5]-
[4]~
[2]+
[4]→
グラフをかくため基本形に。
y=f(x)
1
重要 143
XA
iO
|1
TIR»
1
2
YA
1
[5] -1<a<1のとき,0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個
+35850 08
[6] α=1のとき, x=1から1個
2π
225
[3]
2001
0に関する方程式 2cos2Q-sin0-a-1=0の解の個数を,定数aの値の範囲に
p.226 EX90,91
ただし。 0≦0<2πとする｡
4章
23
三角関数の応用
