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2
では、万有引力による位置エネルギーGmM,
Y
〈問9-3 質量mの人工衛星が右ページの図のように、質量Mの惑星を焦点の1つとするだ
円軌道を描きながら運動している。 万有引力定数をGとして以下の問いに答えよ。
(1) A点とB点における人工衛星の速さをそれぞれG, M, R. rを用いて表せ。
A点で人工衛星を加速させ、速さがになった。
(2) 加速させる速さによっては, 衛星は軌道から外れ, 無限の彼方へと飛んでい
くことがある。 衛星が無限遠に飛んでいくためのμに関する条件を求めよ。
まず, A点における速さと, B点における速さをそれぞれv,Vとします。
ここでまず思い出してほしいのは「面積速度一定の法則」 です。
9-1 でやったように, 長軸上に物体があるときを考えると, 面積速度が一定です
から
解きかた (1) 1/2rv=1/12 RV①
2"
解きかた
B点での面積速度
を用いる問題を解いてみましょう
A点での面積速度
もう1つ、万有引力の問題では 「力学的エネルギー保存則」が重要です。
衛星は運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーを持っています。
ます。
衛星には万有引力しかはたらきませんから,これらのエネルギーの総和は保存し
よって、力学的エネルギーの保存を考えて
mM
2 m² + ( - 6 m ) = /2 m² ² + ( - GR
A点での位置エネルギー
A点での運動エネルギー
R
v=√2GM r(R+r)
R(R+r)
....... ②
B点での位置エネルギー
B点での運動エネルギー
そして ① ② 式を連立して解くと (右ページで式変形は解説)
V=√2GM
問 9-3
補足
1
A
(1) 面積速度一定の法則(ケプ
ラーの第2法則) より
2
1
ミ RV...... ①
2
質量 m
B点での面積速度
①②より
① より V=
質量 M
A点での面積速度
力学的エネルギー保存則より
A点での運動エネルギー
Y
R
-G
mM
1 / m²³² + ( - 6 mM ) = 1/2 m² ² + ( - 6 m).
-G
2
Y
R
A点での位置エネルギー
v= 2GM
v...... ③
③ ④ より ぴー
③ よりv=2GM
R2
R2-2
R2
②より-V=2CM(121-1212)=26
R
R
R
r(R+r)
i=2GM-
i=2GM
r
R(R+r)
B点での運動エネルギー
R-r
rR
R-r
rR
v=2GM
万有引力による位置エネルギー
"
B
wwwwwww
B点での位置エネルギー
V= 2GM-
R
r(R+r)
R-r
rR
******
わ~!
大変な
計算だぁ~」
T
R(R+r)
ちゃんと
自分で
解いてみる
のだぞ
237
CO
9
