数2の質問です！ 243の（2）で 常に増加する と書いてあるんですが どのようにしてそれがわかるのかを教えてほしいです！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

α = ±4のとき 2個 a<-4, 4<αのとき 1個 1 y=a -4 243 (1) f(x)=(x+x) 2x2 とすると f'(x) =3x²-4x+1= (x-1) (31) f'(x) = 0 とすると x= = 1 3' x≧0において, f(x) の増減表は次のように なる。 練習 242 α は定数とする。 方程式 x +3x²-9x-α = 0 の異なる実数解の 個数を調べよ。 テーマ 111 不等式の証明 xのときx3+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。 応用 考え方 不等式 A≧Bの証明 → 差をとって A-B0 を示すのが基本。 x=0のとき,f(x)=(x+6x2+8) 15x の最小値が0以上であることを 示す。 解答 f(x)=(x+6x2+8)-15x とすると f'(x) =3x2+12x-15=3(x2+4x-5) x 0 1 f'(x) 0 + f(x) 8 V 0 7 x0 において, f(x) の増減表は右のようになる。 =3(x+5)(x-1) よって, x≧0 において, f(x) はx=1で最小値0 をとる。 12 したがって, x≧0 のとき,f(x)≧0であるから(x+6x2+8)-15x≧ 0 すなわち x3+6x2+8≧15x 243 次の不等式を証明せよ。 第6章 微分法と積分法 x 0 13 1 f'(x) + 0 0 + 極大 極小 f(x) 01 4 27 0 よって, x20において, f(x) は x=0, 1で wm 最小値0をとる。 したがって,x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか ら (x+x) -2x20 すなわち x3+x≧2x2 (2) f(x) = (x+7x+1)-3x² とすると f'(x) =3x²-6x+7=3(x-1)^+4> 0 よって, f(x) は常に増加する。 また, f(0) =1>0であるから,x≧0において f(x)>0 したがって すなわち (x3+7x+1)-3x20 x3+7x +1>3x2 244 ① (12x2)'=24x ③ (x)'=3x2 ② (x=4x3 ④ (x+3)'=4x3 よって, 4x3 の原始関数であるものは x≧0のとき x+x2x2 (2)x≧0 のとき x+7x+1>3x2 245 Cは積分定数とする。 (1) (与式)=-3fdx=-3x+C (2)(与式)=7fxdx=7.1/2x+C=1/2x+c

数2の質問です！ 243の(１)の 〜 のところを わかりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

a = ±4のとき 個 a<-4, 4<αのとき 1個 答 1 y=a 4 練習 242 α は定数とする。 方程式 x+3x²-9x-a=0の異なる実数解の 個数を調べよ。 テーマ 111 不等式の証明 x=0のときx+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。 応用 考え方 不等式 A≧B の証明・ →差をとって A-B≧0 を示すのが基本。 x≧0のとき,f(x)=(x3+6x2+8)-15xの最小値が0以上であることを 示す。 解答 f(x)=(x3+6x2+8)-15 とすると x 0 1 f'(x)=3x2+12x-15=3(x2+4x-5) f'(x) 0 + =3(x+5)(x-1) f(x) 8 v 0 x≧0において,f(x) の増減表は右のようになる。 第6章 微分法と積分法 よって, x≧0 において,f(x)はx=1で最小値0 をとる。 したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧0であるから ( x3+6x2+8)-15x≧0 すなわち x3+6x2+8≧15x 終 243 (1) f(x) = (x3+x) - 2x2 とすると f'(x) =3x²-4x+1=(x-1)(3x-1) f'(x) = 0 とすると x=/1/31 x≧0において,f(x) の増減表は次のように なる。 x 0 0 1-3 1 f'(x) + 0 - 0 + 極大 極小 f(x) 0 1 4 27 0 よって, x≧0において, f(x) は x=0, 1で wm 最小値0をとる。 したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか ら すなわち (x3+x)-2x2≥0 x3+x≧2x2 (2) f(x) =(x3+7x+1)-3x2 とすると f'(x) =3x2-6x+7=3(x-1)+4> 0 よって, f(x)は常に増加する。 また,f(0) =1>0であるから,x≧0において したがって すなわち f(x)>0 (x3+7x+1)-3x20 x3+7x +1>3x2 244 (12x2)'=24x ③ (x3)=3x2 ② (x)'=4x3 ④ (x+3)'=4x3 よって, 4x3 の原始関数であるものは 243 次の不等式を証明せよ。 x≧0 のとき xxx (2) x≧0 のとき x+7x+1>3x2 245 Cは積分定数とする。 (1)(与式)=-3fdx=-3 dx=-3x+C (2)(与式)=7fxdx=7.1/2x++C=1/2x+c

何が違いますか？

J 191b a(a+c) b(b+d) = 20/20 C = K b d a=bk, c=dk.Ⓡ ②①に代入する (TIP) = bk (bk+dk) b²k² + bak² b (bid) (be) = d²k² (右)= d L 62+bd = k2 +2+bd =2k2 O

左辺>右辺を言いたい時、左辺−右辺>0っていうのは分かりますが、写真の>の右辺ってn^2-n+2の nにk+1を代入したものではないですよね？ どういうことですか？

501 例題 基本例 57 不等式の証明 00000 3以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 指針 ①D(I p.498 基本事項 11 ≧」であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには,出発点を変えた 数学的帰納法を利用するとよい。 [1] = のときを証明。 出発点 [2]n=k(k≧●)のときを仮定し, n=k+1のときを証明。 本問では,n≧3のとき,という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。なお, n=k+1のとき示すべき不等式は3>(+1)-(k+1)+2 ① 大小比較 差を作る A>Bの証明は差A-B>0 を示す 解答 数学的帰納法 CHART 数学的帰納法 |1| nの出発点に注意 k+1の場合に注意して変形 が成り D 1.2+1 ●出発点は n=3 [1] n=3のときを考えると+A (左辺 =32=9, (右辺) =32-3+2=8 よって,①は成り立つ。 [2] =k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると 3k-1>k2-k+2 ****.. ② _n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると, ②から {(k+1)-(k+1)+2} 3.3k-1-(k²+k+2)+1) [1][2]=2k2-4k+4=2(k-1)+2>0 (左辺) > (右辺) k≧3を忘れずに。 ②を利用できる形を作 り出す。 したが>3(k-k+2)-(k+k+2) 基本形を導くことにより, ゆえに 3>(k+1)²-(k+1)+2(1)()-(E)>0³ よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, n≧3であるすべての自然数nについて ①は成り立つ。 される。 40 ya

数学的帰納法 不等式の証明です 囲ってる部分が何をやっているかわかりません 特に、右辺の各項がどこから来たかの説明をお願いしたいです よろしくお願いします🙇‍♀️

[2]n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち (k+1) 3 12 +2 +32 +....+k< 3 が成り立つと仮定する。 n=k+1のときの (A) の両辺の差を考えると (k+2)³ -{1²+2² + + k² +(k+1)²) 1x = y 3 x = y (k+2) 3 (k+1) 3 - (k+1) 2 3 3 (k+1) 3k²+9k+7 -(k²+2k+1)< 3 (4+ani+a)VS-(+S) =k+=> 0

数学的帰納法、不等式の証明です 囲ってある部分の途中式がほしいです よろしくお願いします🙇🏻‍♀️՞

目標 なろう。 (p.48練習43 等式に続いて,自然数nを含む不等式を証明してみよう。 応用 例題 6 考え方 証明 を4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 2">3n 前ページ例題8 と違い, n≧4である。 46ページで学んだ数学的帰納 法の手順のどこを変えればよいか考える。 この不等式を (A) とする。 代入した時に [1]_n=4 のとき (A)を満たす最小の数 左辺 =24=16. 右辺 = 3・4=12 よって, n=4 のとき, (A) が成り立つ。 [2]として,n=k のとき(A)が成り立つ,すなわち 2k>3k が成り立つと仮定する。 n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると 2k+1-3(k+1)=2.2-(3k+3) すなわち >2.3k-(3k+3)=3(k-1)>0 2k+1>3(k+1) よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1],[2]から,4以上のすべての自然数nについて (A)が成り立 つ。 【?】 [2] で示した2つの不等式 2・2-(3k+3)>2・3k-(3k+3), 練習 43 3(k-1)>0 について,それぞれが成り立つ理由を説明してみよう。 nを3以上の自然数とするとき,次の不等式を証明せよ。 2">2n+1 終

解説の(2)(ⅲ)でan>2^(1/3)なので、1回変形しただけでも正であると言えると思うのですが、なぜ解答ではan^3が出る形まで変形しているのでしょうか。

14 不等式と漸化式 (1)x>0のとき,不等式 1/2(x+1/22) 221 を示せ、また等号が成り立つのはどのようなときか (2) 数列{a} を, a1=2, an+1= 2/3(an+1/2)(n=1,2,3,..)で定める。 1 (i) n≧1 のとき, an>an+1>2を示せ. 2. 2 2 (ii) n≧2のとき, を示せ. an+1 an 2 2 an 3 an-1 2 2\n-1 を示せ. 2 3 an (i) n≧1のとき, 0<an+1 an+1 <kan 不等式の証明 (金沢大文系) k>0,an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, am <kn-la を導くことができる。 A>Bを示すには, A-B>0 を示すことを目標にするのが基本方針. ②なり 解答量 (1) 与式の分母を払い、2-3・2332+20 これを示せばよい。 左辺を因数分解して(x-21) (2+2号) D ←t=23 とおくと, 2x3-3t2+1=(x-t) (2x+t) >0のとき ①≧0 (等号はx=23)であるから示された。 ant 3 = (a+11) (2)(i)/a>2号と(1)より,帰納的に4741= an 2 an 3-2 3an2 an 2 1 ->0 (an>23) 2 1 また, an-an+1=an- 3 ant 1 よって,amam+1 > 2 2 2 1 = 2 an 3 an 2 2 (iii) an+1) = an 2 = 2 よって,,>2/1/3(n≧1)が成り立 つ これを帰納法で示すと丁寧. (an> Ants >2} (1+4) XA-Bo 2 (日)) (ii) an+17 2 2 = an 2 2 an 3 2 an an 2 3 an an-1 ->0 (an>23) 2 an 3-2 -(-)-> 2 3 an 2 3 2 n=1のとき=1で与式は成立する.n≧2のとき (ii) をくり返し用いて, an+1 2 an 2 2 3 an 2 < an-12) n-1 a2 22 33 2 a₁2 an-1 2 An-22 n-1 ・1= 2\n-1 (号) an-1 _2 an-2 0<an <an-1より 2. 1+4 an² <an-12 2 = a2 2 a1 上式 2-3 2-3 2 2 2 an an-1 03-2 2 223-2 22 =1 2

（3）が分かりません。 どういう発想でtをこのように置いたのか。 t→＋0はどうして？

148 第5章 微分法 基礎問 81 微分法の不等式への応用 > (1)x>0 のとき,f/12+x+1 が成りたつことを示せ. (2)lim=0を示せ. (3) limrlogz=0 を示せ. +0 y=er 上の点(0, 1) における接線を 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=e² が y=x+1 149 y=ez y=x+1 より上側にあります. だから, x>0では x+1,すなわち, f'(x)>0であることが わかります. -1 10 T (2)>0のとき,(1)より > 付して. r2+x+1> 2 2 IC 精講 (1) 微分法の不等式への応用はⅡB ベク 97 みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。 ⅡB ベク 98 で学習済 ∞ lim 20 だから、はさみうちの原理より I lim=0 (2)は78に,(3)は演習問題 79 にでています。 注 解答では,x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) II. 間接的に与えてある (演習問題 79) Ⅲ. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81 のいずれかの形態になっているのがフツウですが, たまに, そうでない出題も あります。 だから,この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん, 証明 の手順もそうです.(1) や (2)で不等式の証明 (3)で極限という流れは44,45で 学んだはさみうちの原理です. (1) f(x)=- 解答 +x+1) とおく. 導関数単調なら 元も単調 プラス f(x)は常にチン なります。 0< 2x 2 x2+2x+2 より 2 x+2+ I (3)(2)において,r=log- og / とおくと,t+0 のとき,x→∞ *†, e² = elog = 1, x=-logt だから, lim(-tlogt)=limax=0 t→+0 また, lim (-tlogt)=-lim (tlogt) 1 t+0 t+0 limtlogt0 すなわち, limxlogx = 0 t→ +0 x+0 f'(x)=e-(x+1), f"(x)=e²-1 のちて分からない >0 のとき,> が成りたち, f(x)>0 接線傾きつまり f(x)の上昇、下降 したがって、f'(x)はx>0 において単調増加。 を表す! ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(x)>0 よって, f(x)はx>0において単調増加. ここで,f(0) =0 だから,x>0 のとき, f (x)>0 ゆえに、x>0のとき、12++1 ポイント IC lim =0 lim log x 8 et →∞ I 演習問題 81 =0 lim xlogx=0 x+0 (1)x>0 10g を示せ. (2) lim log x I -= 0 を示せ. 第5章

この問題について 、解答と違うのですが 、この場合も 証明できてるのでしょうか？ 不等式を二乗する時は注意しなければいけませんが、 a も正 b も正なので、単純に2乗していいと思いました。

予習のための自習問題 101 a, bが正の数のとき,不等式 a+b ≥ √ab 2 が成り立つことを示せ.また等号が成り立つための条件を求めよ.

数B　数学的帰納法 (2)番、わからないです💦 どなたかできる方教えてください

練習数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 41 (1) 1+3+5+......+(n-1)=n2 (2)1・2+2・3+3・4+…+n(n+1)=1/23n(n+1)(n+2)