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もし私が初めてこの問題を見たらどう考えてどう解くかをすべて書いてみましたのでよければご覧下さい
まず、式を見てみると、e^xの逆関数がlogxで、(2)ではx→∞なのに(3)ではx→+0と、全体的に(2)と「逆」だなという気がします。その「逆」になるような変数変換をすれば、(2)が使えて解ける気がするなと思いつつ試行錯誤していきます。
まず考えたいのは関数のイメージです。e^xとxとlogxは極限頻出の関数で、この順に速く発散する、というようなイメージはあるかもしれません。それに関連して、e^xとxの関係と、xとlogxの関係ってなんか似てるような気がしませんか？具体的に言えば、
e^xについて、xをlogxで置き換えると、xになります
xについて、xをlogxで置き換えると、logxになります
このことから、添付画像上図のような対応がある事が分かります
今回は、e^xとxの式を用いてxとlogxの式を示したいので、2つをセットにして、x→logxと変換すれば
(e^x,x)→(x,logx)
となり、(その組み合わせ方は別として、)「必要な関数」は全て揃います。なのでとりあえずx=logyと置いてみると、x→∞のとき、y→∞で、
lim[x→∞] x / e^x = lim[y→∞] logy / y
結構惜しいですね
違いを修正しましょう。(3)は極限を飛ばす先が無限大ではなく+0なので、y→∞のときz→+0となるような関数zであって、分母にあるyを分子に持ってこれるようなものとして、とりあえず
z=1/y
を考えてみます。これを代入すると、
lim[y→∞] logy / y
= lim[z→+0] (-zlogz)
マイナスは付いてしまってますが、もう解けますね。解答書くならここからです。今の流れを逆に辿って、
『lim[z→+0] (-zlogz)
=lim[y→∞] logy/y (∵z=1/yとおいた)
= lim[x→∞] x / e^x (∵y=e^xとおいた)
= 0 ((2)より)』
一応変数をxに戻して、マイナスを付けて(と言っても0なので変わりませんが)完成です
『よって、
lim[x→+0] (xlogx) = - 0 = 0
(証明終了)』
