例題 209 3次関数が極値をもつ条件
(1) 関数 f(x)=x+ax²+4x-3 が極値をもつとき,定数a(
求めよ。
(2) 関数f(x)=ax²+(a−2)x がつねに増加するとき,定数aの値の範囲
を求めよ｡
Action 3次関数の極値に関する条件は,f'(x)=0 の判別式の正負を考える
解法の手順・
....... 1f'(x) に関する条件を求める。
2f'(x)=0 の判別式 D の正負を定める。
3Dをαで表し、 不等式を解く。
解答
(1) f'(x) = 3x+2ax+4
f'(x) は2次関数であるから, 関数 f(x) が極値をもつと
き 2次方程式f'(x) = 0 は異なる2つの実数解をもつ。
f'(x) = 0 の判別式をDとすると
D2
=a²-12 > 0
4
よって、求めるαの値の範囲は
a<-2√3,2√3 <a
①より
(2) f'(x)=3ax2+(a−2)
関数 f(x) がつねに増加するとき, すべての実数xに対し
てf'(x) ≧0 が成り立つ。
(ア) α = 0 のとき
f'(x) = -2 となるから, 適さない。
(イ) α = 0 のとき
f'(x)=0 の判別式をDとすると
a> 0 かつD=-12a(a−2)≦ 0… ①
a(a-2) ≥ 0
a>0 であるから a≧2
(ア),(イ) より 求めるαの値の範囲は
a ≥2
aの値の範囲を
練習209 (1) 胆料 CO
y=f'(x) |
A7
12
極大
y=f(x)
最高次の係数が0になる
かどうかで場合分けする。
<f'(x)のグラフを考える
D<0
または
D=0
X
