例題65.1 x≠0という前提が必要なのは、真数条件よりx>0 つまりx≠0ということですか？ また例題65.2でx=0のときを考えているのは何故なのでしょうか？？

114 基本 例題 65 逆関数の微分法,x" (カは有理数)の導関数 0000 E (1) y=x3の逆関数の導関数を求めよ。 (2) y=x+3x の逆関数を g(x) とするとき, 微分係数 g' (0) を求めよ。 (3)次の関数を微分せよ。) (ア) y=x3 岡の (イ)y=√x2+3 /p.110 基本事項 指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式 dy 1 を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=xの逆関数は x=y (すなわち y=xl xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をx の関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。 →x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 (3) → (x)' = pxｶ-1 有理数のとき (1) y=x3の逆関数は,x=yを満たす。 を利用。 (1) y=x3の逆 別解 は y=x33 で 解答 dx よって =3y2 dy ゆえに、x=0のとき dy 1 1 = dx dx dy == 1 === 1 3y2 3(v³) 3x (2) y=g(x) とすると,条件から x=y+3y たされる。 ①から dy 11 1 = = dx dx 3y2+3 g'(x)=. x=0のとき dy 2 1 3 IC dy=(x)=x+ ①が満 関数 f(x) とその逆関 y+3y=0 すなわち y (y2+3)=0 y2+3>0であるから したがって y=0 1 1 g'(0) = 302+3 3 f'(x) について y=f(x) ⇔x=f-1(y の関係があること(p.24 基本事項20) に注意。

(2)の問題についてです！青い線のところでなんで項数がkになるんですか？k-1じゃないんですか？

442 基本 例題 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。 20 一般項を求めて和の公式利用 00000 (2)1, 12, 1+2+22 ...... (1)12,32,52, 基本 1 19 32 指針 次の手順で求める。 ① まず 一般項を求める→ 2Σ (第に項)を計算。 Σk, k, Σk の公式や、場合によっては等比数列の和の k=1 公式を利用。 注意で,一般項を第n項としないで第k項としたのは,文字n が項数を表して →第k項をkの式で表す。 いるからである。 (2) ax=1+2+2+... +2k-1 ←等比数列の和 等比数列の和の公式を利用してak をkで表す。 CHART Σの計算 まず一般項 (第ん項) をんの式で表す 解答 (1) a 与えられた数列の第k項をα とし,求める和を Sn とする。 (2k-1)2 0 k=1 n k=1 k=1 n n よってSn=2ax=2(2k-1)=2(4k-4k+1)える ◆第ん項で一般項を考え る。 JJ k=1 k=1 =4k²-4k+Σ1 k=1 -/13n{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3} = (DX=(1+r) ◆1nでくくりの中 に分数が出てこないよう 11/13n(n-1)=1/13n(n+1)(2n-1)バーにする。 1/12(4-1)=1/13n(n+1) (n-1)(s) #30 (1) (*) (2) ak=1+2+2²+......+2k-1 = 1• (2-1) = 2k_st 143 n 2-1 Sn2=(2-1)=22-21 ak は初項1,公比2 数の等比数列の和。 よって k=1 k=1 k=1 k=1 参考 S, = (22~)と 2(2n-1) -n=2"+1-n-2 表すこともできる。 2-1 注意 和が求められたら, n=1,2,3として検算 するように心掛けるとよい。 例えば,(1)では,(*)において, n=1とすると1で これは 12 に等しく OK。 (*)において n=2とすると10で, 12+32=10 から OK。 4150 結羽 創 (

青の線の式になる理由が分かりません💦

基本 例題 81 2 直線の交点を通る直線 2直線x+y-4=0 たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。 (1) 点 (1,2)を通る 指針 133 ①①①①① ①, 2x-y+1=0 ･･････ ②の交点を通り、次の条件を満 (2) 直線x+2y+2=0 に平行 2直線①②の交点を通る直線の方程式として,次の方程式 ③ を考える。 k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数) (1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るとして, kの値を決定する。 (2)平行条件 ab2-a2bi=0 を利用するために, ③をx,yについて整理する。 CHART 2直線f=0,g=0 の交点を通る直線kf+g=0を利用 基本80 点をもた 9基本 理が面倒 ることに 一致す -1のと k は定数とする。 方程式 p(x+y-4)+2x-y+1=0 解 (3) は,2旧緑U,②の父息を通る直線 を表す。 (-1,2) (1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るか 0-1 ② 別解として, 2直線の交 点の座標を求める方法 4 x 2 き -11/2 に分け ぶら 50-3k-3=0 すなわち k=-1 これを③ に代入して -(x+y-4)+2x-y+1=0 すなわち x-2y+5=0 (2)③ x, yについて整理して (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 3章 1 直線の方程式、 2直線の関係 もあるが, 左の解法は今 後、重要な手法となる (p.168 例題 106 参照)。 検討 与えられた 2直線は平 行でないことがすぐに わかるから 確かに交 わる。 しかし 交わる るかどうかが不明である 2 直線 f = 0, g=0 の 場合, kf+g=0 の形 から求めるには,2直 線が交わる条件も必ず 求めておかなければな らない。 直線 ③が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は (k+2)・2-(k-1)・1=0 これを③に代入して すなわち x+2y-7=0 よって k=-5 -5(x+y-4)+2x-y+1=0 [参考 ③ の表す図形が, [1] 2直線 ①,②の交点を通る [2] 直線である ことを示す。 [1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点(xo, yo) は, xo+yo-4 = 0, 2xo-yo+1=0 を同時に満たすから, kの値に関係なく, k(xo+yo-4)+2x-yo+1=0が成り 立ち,③は2直線 ① ② の交点を通る。 [2]③をxyについて整理すると (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 k+2=0, k-1=0 を同時に満たすkの値は存在しないから, ③は直線である。 なお, ③はんの値を変えることで, 2直線①②の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ けは表さない。 練習 2 直線 x+5y-7=0, 2x-y-4=0の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式 981 をそれぞれ求めよ。 (1)点(-3,5)を通る (2) 直線x+4y-6=0に (ア)平行(イ) 垂直 S8

数ⅠAのチャートを解いているんですが、ガウス記号という問題が出てました。習ってなかったので教科書を見ましたがガウス記号について載っていませんでした。ガウス記号は共通テストまた難関国立大学の入試に出ますかね？

2番についてです！|x|<cの解は-c<x<cという公式を習ったのですが、なぜこれは公式を使わずに解いているんですか？

基本 例題 43 絶対値を含む方程式・不等式(応用) 次の方程式・不等式を解け。 (1)||x-4|-3|=2 (2)|x-7|+|x-8|<3 指針(1) 内側の絶対値を 場合分けしてはずすのが基本。 77 この問題の場合, 右辺が正の定数であるので,別解のように外側の絶対値からはず して解くこともできる。 1 章 (2)2つの絶対値記号内の式が0となるxの値はx=7,8 例題 42(2) と同じように, x<7,7≦x<8,8≦xの3つの場合に分けて解く。 (1) [1] x4のとき, 方程式は 41次不等式 |(x-4)-3|=2 すなわち 解答 |x-7|=2 ゆえに x=9,5 [2] x<4のとき, 方程式は よって x-7=±2 これらはx≧4 を満たす。 |-(x-4)-3|=2 c>0 のとき, 方程式 |x|=cの解は すなわち |-x+1|=2 ゆえに |x-1|=2 x=±c <|-x+1|=|x-1| よって x-1=±2 ゆえに x=-1,3 これらはx<4を満たす。 S8 以上から、 求める解は 別解 ||x-4|-3|=2から よって |x-4|=5,1 |x-4|=5から x-4=±5 これを解いて x=9, -1 |x-4|=1から x-4=±1 これを解いてx=5,3 以上から, 求める解は x=-1,3,5,9 (2)[1] x<7 のとき,不等式は x=-1,3,5,9 |x-4|-3=±2 <|x-4|-3=Xとおく と, |X| =2 から X=±2 -(x-7)-(x-8)<3 [1] よって x>6 x<7との共通範囲は 6<x<7 ① 6 7 x [2] 7≦x<8 のとき, 不等式は [2] (x-7)-(x-8)<3 よって, 13となり、 常に成り立つから,[2]の 7 場合の不等式の解は 7≦x<8 18 ② [3] [3] 8≦xのとき,不等式は (x-7)+(x-8) <3 よって x<9 8 9 x 8≦xとの共通範囲は 8≦x<9 求める解は、 ①~③を合わせた範囲で ③ 6<x<9

青い線の部分の意味が分かりません。どういうことですか？

ことがわかっ 基本 67 3次方程式が2重解をもつ条件 ①①①①① 3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように, 実数の定数αの値を定 めよ。 [類 東北学院大 ] 基本 65 複素数の和 気もまた複素数 ら、複素数を る多項式につ の算の等式が は次式 指針 方程式(x-3)(x+2)=0の解x=3を,この方程式の2重解という。また, 方程式(x+2) (x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0の形に直す。 方程式が (x-α) (x2+px+g)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+g=0が重解をもち, その重解は xキα [2] x2+px+g = 0 がα とα以外の解をもつ。 → 2重解はx=α であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである ( x = αが3重 解ではない)ことを必ず確認するように。 与えられた3次方程式の左辺をα について整理すると (x2-4)a+x-2x2=0 (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0(-1) (x-2){x2+(x+2)}= 0 (x-2)(x2+ax+2a)=0 または x-2=0 x2+ax+2a=0 よって この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場合である。 次数が最低のαについ て整理する。 また P(x)=x3+(a-2)x2-4a とするとP(2)=0 よって,P(x)はx-2を 因数にもつ。 これを利用して因数分解 してもよい。 解答 か b- に対し [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ場合。 判別式をDとすると D=0 かつ a ≠2 2･1 D=α2-4・1・2a=a(a-8) であり, D=0 とすると a=0,8 a ここで, ≠2から αキー4 2.1 2次方程式 Ax²+Bx+C=0 の重解 は B 2A α=0, 8はαキー4 を満たす。 「 [2] x2+ax+2α=0の解の1つが2で,他の解が2でな い場合。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 [2] 他の解が2でない, と いう条件を次のように考え てもよい。 このとき, 方程式は (x-2)(x-x-2)=0 したがって (x-2)^(x+1)=0 ゆえに, x=2は2重解である。 以上から α=-1,0,8 他の解をβ とすると解 と係数の関係から 2β=2a β≠2から a=2 ■ αを実数の定数とする。 3次方程式(a+1)x-a=0 (1) ①が2重解をもつように, αの値を定めよ。 ①について (2) ①が異なる3つの実数解をもつように, αの値の範囲を定めよ。

(１)についてです。場合分けをするとかいてあるのですが、例えばこれが|x-2|=3の時は場合分けはしません。なんで3xの時は場合分けをしないといけないんですか？教えてください🙇‍♀️

基本 例題 41 絶対値を含む方程式 0000 73 次の方程式を解け。 項目 式の解法 (1)|x-2|=3x (2)|x-1|+|x-2|=x き) 指針 ) 141={_^ 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。それには、 A (A≧0 のとき) 1 -A ( 4 < 0 のとき) であることを用いる。このとき、 場合の分かれ目となるの は, A=0, すなわち,| |内の式 =0の値である。 (1)x2≧0と x-2<0, すなわち, (2) 2<0 *-2≥0 x2とx<2の場合に分ける。 -1<0-10 (2)2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの 値は,それぞれ12であるから,x<1, 1≦x<2,2≦x の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。 ⑥1次不等式 場合の分かれ目 (1) [1] x2 のとき, 方程式は x-2=3x 解答 これを解いて x=-1 ない。 x=-1 は x2 を満たさ [2] x<2のとき, 方程式は -(x-2)=3x 1 1 これを解いて x= 2 x= はx<2を満たす。 2 重要 場合分けにより,||を はずしてできる方程式の 解が、場合分けの条件を 満たすか満たさないかを 必ずチェックすること (解答の の部分)。 1 [1], [2] から, 求める解は x= 最後に解をまとめておく。 2 (2) [1] x<1のとき, 方程式は =(x-1)(x-2)=xx-1<0, x-2<0 → すなわち |-2x+3=x Ix -をつけて||をはず す。 これを解いて x=1 x=1はx<1を満たさない。 [2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x これを解いて x=1 [3] 2≦x のとき, 方程式は x-10, x-2<0 x=1は1≦x<2を満たす。 (x-1)+(x-2)=x |x-1>0, x-2≧0 すなわち 2x-3=x これを解いて x=3 x=3は2≦xを満たす。 以上から、 求める解は x=1,3 最後に解をまとめておく。 y=x-2|のグラフと方程式 yy=3x (1)について y=x-2|は,x≧2のとき y=x-2, y=|x-2| 検討 PLUS ONE 4T であるから, y=|x-2|のグラフは右の図の① (折れ線) であ る(p.118 参照)。 折れ線y=|x-2| と直線 y=3x は,x 座標 がx=-1の点で共有点をもたないから, x = -1が方程式 |x-2|=3xの解でないことがわかる。 x<2のとき y=(x-2) 30 2 10 2 112

(１)についてです。普通に考えて3の3乗は27になるからx=3ではだめなんですか？

2 基本 例題 60 高次方程式の解法 (1) 0000 (2) x-x2-6=0 (3)x+x2+4=0 p.101 基本 次の方程式を解け。 (1)x3=27 指針 高次方程式の解法 因数分解して、1次・2次方程式に帰着させる。 -> 因数分解の手段は 11 公式利用 2 おき換え 3 因数定理の利用 (1) 与式から x-27=0→左辺は3乗の差の形となり,公式が利用できる。 (2)与式の左辺は複2次式であるから,x=X とおいて,左辺を因数分解。 (3)x2 = Xとおいてもうまくいかないから,平方の差に変形する。 CHART 高次方程式 分解して1次・2次へ (1) 与式からx3-330 (x) (x) 書 た ゆえに (x-3)(x2+3x+9)=0 AMONA a³-b³ 解答 よって x3=0 または x2+3x+9=0 x-30から (8-x=3 =(a-b)(a2+ab =b+x -3±3√3i x2+3x+9=0から x= =x+a+解の公式を利用。 2 -3±3√3 i したがって x=3, 2 (2)x2=Xとおくと X'-X-6=0 2次方程式に帰 ゆえに (X+2) (X-3)=0 すなわち (x+2)(x-3)= Xをもとに戻す よって x2+2=0 または x2-3=0(ロース)=(x 01 x2+2=0から x=±√√2i x=±√-2= x2-30から x=±√3 したがって x=±√2i, ±√√3 (2)9 100 (3)x+x2+4=(x2+2)2-3x2 =(x2+√3x+2)(x2-√3x+2) <3x2=(√3x)^ a²-b²=(a+b よって, 方程式は (x2+√3x+2) (x²-√3x+2)=0 を利用。

(１)についてです！なぜ余りをax+bのおけるんですか？余りをaとおくだけじゃだめなんですか？

24 基本 例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1) 00000 (1) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りは5, x-2で割ると余りは7となる。 のとき,P(x) をx2-3x+2で割った余りを求めよ。o+x=(x)q左員[近畿大] 類 ° (2) 多項式 P(x) を x2-1で割ると4x-3余り,x2-4で割ると3x+5余る。 のとき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 +x= P(a) ●基本 54 重要 57 指針 P(x) が具体的に与えられていないから、実際に割り算して余りを求めるわけにはいか ない。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 (1) 特に、余りR の次数が割る式Bの次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から,このa,bの値を決定したい。 それには,割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となるxの値(これを●とする)を考えて,P(●) の値を利用する。 CHART 基本等式 A=BQ+R 割り算の問題 1 R の次数に注意 2 B=0 を考える 解答 (1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると, 次の等式が成り この立つ。組 20 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 条件から P(1)=5 P(2)=7 ゆえに a+b=5 ゆえに 2a+b=7 (S) ① 剰余の定理。 また, の両辺にx=1 を代入 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 Job B=(x-1)(x-2) ①,②を連立して解くと よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x) をx2+3 +2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと きの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り 立つ。 +α=2,b=3 -) 0+ (=) +32 P(1) = a+b P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また,P(x) を x2-1, x2 -4 すなわち (x+1)(x-1),d-p (x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQi(x),Q2(x) とすると P(x)=(x+1)(x-1)Q1(x)+4x-3 P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 ***** ....... ① ② ①から P(-1)=-7 これとイから-a+b=-7S ②から P(-2)=-1 これとイから-2a+b=-1 ④を連立して解くと α=-6,6-13 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 B=(x+1)(x+2) a,bの値を決定する ためには,P(-1), で,①,②にそれぞれ P(-2) が必要。 そこ x=-1, x=-2を代 ....... ③ 求める余りは6x-13

赤線で囲った部分の計算の仕方が分かりません！誰か教えてください🙇‍♀️

Ra を数学的帰納 が成り立つ。 一べての自然 は ドミノ倒 る。 割れる。 れたとき, が倒れる。 ミノが倒れ 基本 BANN 55 等式の証明 ......- が自然数のとき,数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 ·+n•n!=(n+1)!−1 解答 指針 1・1!+2・2!+ 00000 499 数学的帰納法による証明は,前ページの例のように次の手順で示す。 [1] n=1のときを証明。 [2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで, +1のときも成り立つことを証明。 [1] [2] からすべての自然数nで成り立つ。 出発点 [類 早稲田大] p.498 基本事項 まとめ [2]においては, n=kのとき①が成り立つと仮定した等式を使って, ① の n=k+1 このときの左辺1・1!+2・2! +・・・・..+kk!+(k+1) ・(k+1)! が, 右辺{(k+1)+1}!-1に 等しくなることを示す。 また,結論を忘れずに書くこと。 とき [1] n=1のとき=31-9 通 (左辺)=1・1!=1, (右辺)=(1+1)!-1=1 よって,①は成り立つ。 ①が成り立つと仮定すると [2]n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1・1! +2・2! + ••••••+kk!=(k+1)!−1 n=k+1のときを考えると、②から 1.1!+2.2!+...+k•k! +(k+1). (k+1)! 注意 は数学的帰納法 の決まり文句。 答案ではき ちんと書くようにしよう。 kは自然数(k≧1)。 1 ⑥数学的帰納法 <①でn=kとおいたもの。 n=k+1のときの ① の 左辺。 とき =(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)! -1 えに=(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1n=k+1のときの①の よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [s [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。結論を書くこと。 8.0+(+81) トー +1 検討 数学的帰納法では,仕組み (流れ)をしっかりつかむようにしよう(指針の[1][2])。 なお,[1] で n=1の証明が終わったと考えて, [2] でn=kの仮定を k≧2 としてしまって は誤りである。 注意するようにしよう。 bon 24667 (El bom) of (81 bom) "E-EI="@+E+A 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 [島根大]