数2 不等式の証明 253のような(aと1/aのように消去できる)問題を相加平均と相乗平均の大小関係を使って解くのはわかるのですが、254でも相加平均と相乗平均の大小関係を使って解くのに驚きました。どんな時に相加平均と相乗平均の大小関係を使って解けばいいのですか？使う場面の... 続きを読む

8 不等式の証明 (2) 21: A 2530,60 のとき, 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成 立つのはどのようなときか。 STOL 1 1 56 *(1) 9a+ -≥3 Aa 1 (2) 3a 3a ・+ M2 56 12 (3) a+b+ ≥4√3 a+b *(4)(a+1/2)(6+1/28)2 ≥25 254 a>0,b>0,c>0 のとき,次の不等式を証明せよ。 また,等 号が成り立つのはどのようなときか。 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc !!

数2不等式 ❓の置き換えることができるのは何故ですか？

>0を示す。 25 (1) 不等式 |a+6|s|a|+|6| を証明せよ。また,等号が成 り立つのはどのようなときか。 (2) (1)の不等式を用いて, 次の不等式を証明せよ。 la-c|≧|a-6|+10-c| ポイント3 絶対値を含む不等式の証明 (1) 不等式の両辺が0以上であるから,(右辺)(左辺)220 を 示せばよい。 (別解) 絶対値の性質 BSASBAKSBや -|a|≦as|a| などを利用する。

この例題16なのですが、途中式が >3K・2-3(K+1) =6K-3K-3 と>が消えるのは何故ですか？ >3(K-1)>0にならないのですか？ (これもおかしいですけれど....)

不等式の証明 数学的帰納法を用いて, 不等式を証明してみよう。 例題が4以上の自然数のとき, 次の不等式を証明せよ。 16 2>3n 方針 4以上の自然数に対する命題の証明であるから,(I)として n=4の きり立つことを証明するで 証明 不等式 2">3n を ① とおく。 (I) n=4 のとき, ①の左辺 =2=16 ①の右辺 =3・4=12自 よって, ① は成り立つ。 (II) k≧4 として, n=k のとき①が成り立つと仮定する。 すなわち, 2kk... ② 2S+ @ 1+1=n n=k+1 のときの①の両辺の差を, ②を用いて変形すると, 2k+1-3(k+1)=2.2"-3(k+1) したがって, M 22.3k-3(k+1)? =3(k-1)>0 仮定 2 > 3k を利用 k≧4 より, k-1>0 2k+1 >3(k+1) よって, n=k+1 のときも ①が成り立つ。 (I),(II)より,4以上のすべての自然数nについて①は成り立つ。

数2 微分法と積分法 　　　方程式,不等式への応用の問題です (2)不等式3x^4+1≧4x^3が成り立つことを証明せよ 下の画像で丸をつけたマイナスや矢印は どう判断すると分かるのでしょうか xは解くことができたのですか増減表の理解が まだできておらず教えていただ... 続きを読む

(2) f(x)=(3x4+1)-4x3 とおくと f'(x)=12x3-12x2=12x2(x-1) f'(x) =0 とすると x=0, 1 f(x) の増減表は次のようになる。 x f'(x) f(x) - 0 ... 1 ... 0 - 0 + 1 00 極小 0 よって, f(x) はx=1で最小値 0 をとる。 1 ゆえに、すべての実数xに対して f(x) ≥0 すなわち (3x4+1)-4x≧0 したがって 3x4 +14x3 y=f(x) 1 x

微分についての質問です。一枚目の写真で青マーカーを引いたところには、「三次不等式はグラフを利用して求める。極値を求める必要はない。」とありますが、例題212.213では極値を出して解いている気がします。 ・なぜ例題212.213では極値を出して、例題216では極値を出して... 続きを読む

2 406 第6章 微分法改 練習 [216] **** 7956 く 50 785 2210 196 例題 216 三角不等式 **** cos 30 + cos 20+ cos >0 を満たす0の値の範囲を求めよ.ただし, 0≦02 考え方 解答 とする. 例題 212(p.402) と同様にして3次関数のグラフとx軸の位置関係を考える. まず cosa=t とおき,tの3次不等式を作る cost とおくと,002πより、 また, cos30=4cos0-3cos0=4t-3t cos 20=2 cos 0-1=2t2-1 4t3+2t-2t-1>0 したがって, 与式は, (4t-3t) + (2-1) +t>0 2t2(2t+1)-(2t+1)>0 (2t+1)(2-1)>0 ...... ② (2t+1)(2-1)= 0 とすると, tの値の範囲に注意 与式の左辺を cosで 統一する。そのとき 倍角,2倍角の公式を 利用する. ((p.269 参照) 組み合わせを考えて, 因数分解する。 [解] Commen ここ こで, 2 線が一致 200 とし, 線をも この √2 1 1 t=- 0 2' √2 2 y=4t+2t-2t-1 のグラフは, 右の図のようになる. したがって、②の解は、 ①より RD 3次不等式はグラフを 利用して考える. 極値 を求める必要はない。 30 1 <t≦1 √2 2√2 よって,t=cos 0,0≦02 より 0≤0< 単位円を利用して8の 範囲を求める. て π 第3,4象限の解と第2, 2 3 147 4 1 √2- 1象限の解は,それぞ 例 0 5 << 27 << れx軸に関して対称 10 1 x 43 7 3π 1 4π 注〉和積の公式を用いて次のように解くこともできる. (p.274 参照) ( cos30 + cos 0) + cos20>0 2 cos 20 cos 0+ cos 20>0 cos 20 (2 cos 0+1)>0 (2cos'0-1)(2cos0+1)>0 ここで, cosa=t とおくと, cosA+ cosB=2cos- A+B A-B COS 2 2 (2t2-1)(2t+1)>0 あとは、例題216と同様にして解けばよい. tan 20 + tan00 を満たす 0 の値の範囲を求めよ。ただし,0≦02 とする. 次

数学IIについて質問です。解説がよくわからないです。私は平方の差で考えずにそのままやってしまっているので結果が変になってしまったのでしょうか。私の回答（だいぶ文を端折っています。すみません。）の間違っているとこと、どうすればいいかを教えて欲しいです。（この問題は58の（2）... 続きを読む

(2) √7-614-√13 両辺を2集 1-21182 -2142-1182)0 √42-√18250 20 42<182なので √ くえよ < 22012 < よって

数2の質問です！ 243の（2）で 常に増加する と書いてあるんですが どのようにしてそれがわかるのかを教えてほしいです！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

α = ±4のとき 2個 a<-4, 4<αのとき 1個 1 y=a -4 243 (1) f(x)=(x+x) 2x2 とすると f'(x) =3x²-4x+1= (x-1) (31) f'(x) = 0 とすると x= = 1 3' x≧0において, f(x) の増減表は次のように なる。 練習 242 α は定数とする。 方程式 x +3x²-9x-α = 0 の異なる実数解の 個数を調べよ。 テーマ 111 不等式の証明 xのときx3+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。 応用 考え方 不等式 A≧Bの証明 → 差をとって A-B0 を示すのが基本。 x=0のとき,f(x)=(x+6x2+8) 15x の最小値が0以上であることを 示す。 解答 f(x)=(x+6x2+8)-15x とすると f'(x) =3x2+12x-15=3(x2+4x-5) x 0 1 f'(x) 0 + f(x) 8 V 0 7 x0 において, f(x) の増減表は右のようになる。 =3(x+5)(x-1) よって, x≧0 において, f(x) はx=1で最小値0 をとる。 12 したがって, x≧0 のとき,f(x)≧0であるから(x+6x2+8)-15x≧ 0 すなわち x3+6x2+8≧15x 243 次の不等式を証明せよ。 第6章 微分法と積分法 x 0 13 1 f'(x) + 0 0 + 極大 極小 f(x) 01 4 27 0 よって, x20において, f(x) は x=0, 1で wm 最小値0をとる。 したがって,x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか ら (x+x) -2x20 すなわち x3+x≧2x2 (2) f(x) = (x+7x+1)-3x² とすると f'(x) =3x²-6x+7=3(x-1)^+4> 0 よって, f(x) は常に増加する。 また, f(0) =1>0であるから,x≧0において f(x)>0 したがって すなわち (x3+7x+1)-3x20 x3+7x +1>3x2 244 ① (12x2)'=24x ③ (x)'=3x2 ② (x=4x3 ④ (x+3)'=4x3 よって, 4x3 の原始関数であるものは x≧0のとき x+x2x2 (2)x≧0 のとき x+7x+1>3x2 245 Cは積分定数とする。 (1) (与式)=-3fdx=-3x+C (2)(与式)=7fxdx=7.1/2x+C=1/2x+c

数2の質問です！ 243の(１)の 〜 のところを わかりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

a = ±4のとき 個 a<-4, 4<αのとき 1個 答 1 y=a 4 練習 242 α は定数とする。 方程式 x+3x²-9x-a=0の異なる実数解の 個数を調べよ。 テーマ 111 不等式の証明 x=0のときx+6x2+8≧15x が成り立つことを証明せよ。 応用 考え方 不等式 A≧B の証明・ →差をとって A-B≧0 を示すのが基本。 x≧0のとき,f(x)=(x3+6x2+8)-15xの最小値が0以上であることを 示す。 解答 f(x)=(x3+6x2+8)-15 とすると x 0 1 f'(x)=3x2+12x-15=3(x2+4x-5) f'(x) 0 + =3(x+5)(x-1) f(x) 8 v 0 x≧0において,f(x) の増減表は右のようになる。 第6章 微分法と積分法 よって, x≧0 において,f(x)はx=1で最小値0 をとる。 したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧0であるから ( x3+6x2+8)-15x≧0 すなわち x3+6x2+8≧15x 終 243 (1) f(x) = (x3+x) - 2x2 とすると f'(x) =3x²-4x+1=(x-1)(3x-1) f'(x) = 0 とすると x=/1/31 x≧0において,f(x) の増減表は次のように なる。 x 0 0 1-3 1 f'(x) + 0 - 0 + 極大 極小 f(x) 0 1 4 27 0 よって, x≧0において, f(x) は x=0, 1で wm 最小値0をとる。 したがって, x≧0 のとき, f(x) ≧ 0 であるか ら すなわち (x3+x)-2x2≥0 x3+x≧2x2 (2) f(x) =(x3+7x+1)-3x2 とすると f'(x) =3x2-6x+7=3(x-1)+4> 0 よって, f(x)は常に増加する。 また,f(0) =1>0であるから,x≧0において したがって すなわち f(x)>0 (x3+7x+1)-3x20 x3+7x +1>3x2 244 (12x2)'=24x ③ (x3)=3x2 ② (x)'=4x3 ④ (x+3)'=4x3 よって, 4x3 の原始関数であるものは 243 次の不等式を証明せよ。 x≧0 のとき xxx (2) x≧0 のとき x+7x+1>3x2 245 Cは積分定数とする。 (1)(与式)=-3fdx=-3 dx=-3x+C (2)(与式)=7fxdx=7.1/2x++C=1/2x+c

何が違いますか？

J 191b a(a+c) b(b+d) = 20/20 C = K b d a=bk, c=dk.Ⓡ ②①に代入する (TIP) = bk (bk+dk) b²k² + bak² b (bid) (be) = d²k² (右)= d L 62+bd = k2 +2+bd =2k2 O

左辺>右辺を言いたい時、左辺−右辺>0っていうのは分かりますが、写真の>の右辺ってn^2-n+2の nにk+1を代入したものではないですよね？ どういうことですか？

501 例題 基本例 57 不等式の証明 00000 3以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 指針 ①D(I p.498 基本事項 11 ≧」であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには,出発点を変えた 数学的帰納法を利用するとよい。 [1] = のときを証明。 出発点 [2]n=k(k≧●)のときを仮定し, n=k+1のときを証明。 本問では,n≧3のとき,という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。なお, n=k+1のとき示すべき不等式は3>(+1)-(k+1)+2 ① 大小比較 差を作る A>Bの証明は差A-B>0 を示す 解答 数学的帰納法 CHART 数学的帰納法 |1| nの出発点に注意 k+1の場合に注意して変形 が成り D 1.2+1 ●出発点は n=3 [1] n=3のときを考えると+A (左辺 =32=9, (右辺) =32-3+2=8 よって,①は成り立つ。 [2] =k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると 3k-1>k2-k+2 ****.. ② _n=k+1のとき,①の両辺の差を考えると, ②から {(k+1)-(k+1)+2} 3.3k-1-(k²+k+2)+1) [1][2]=2k2-4k+4=2(k-1)+2>0 (左辺) > (右辺) k≧3を忘れずに。 ②を利用できる形を作 り出す。 したが>3(k-k+2)-(k+k+2) 基本形を導くことにより, ゆえに 3>(k+1)²-(k+1)+2(1)()-(E)>0³ よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, n≧3であるすべての自然数nについて ①は成り立つ。 される。 40 ya