範囲について D>0のときがk<-√5,√5<kで、D<0のときが-√5<k<√5じゃないんですか？

5 2次曲線と直線 2次曲線と直線の共有点について調べてみよう。 例12 問17 楕円 4x2+y=4 と直線y=x+k の共有点の個数は,定数 kの値によってどのように変わるか調べてみよう。 tom これらの共有点の座標は, 連立方 程式 4x2+y2 = 4 Ly=x+k (2 の実数解であるから,その個数を 調べればよい。 ② を①に代入して すなわち ③ の判別式をDとすると (1) 4x² + (x+k)² = 4 5x+2kx+k²-4=0 放物線 2 D 4 YA X O -2 -2 1 3 y=x+k 4x2+y2=4 x =k-5(k-4) =-4 (k²-5) 共有点の個数は, ③の異なる実数解の個数と一致するから D > 0 すなわち -√5くたく√5のとき 共有点は2個 D = 0 すなわち k=±√5のとき 共有点は1個 D0 すなわちん<-√5,√55くんのとき共有点なし

(3)の答えが交点だったのですがなぜですか？ 接点ではない理由を教えてください🙇🏻‍♀️

*107 次の2次曲線と直線は共有点をもつか。 共有点をもつ場合には、 接点・ 交点の区別をいえ。 また, その点の座標を求めよ。 (1) 4x²+9y²=36, 2x-3y=0 (3) x2-4y2=4,x+2y=1 (2)9x²+4y²=36, 2x+y=6 (4) y2=6x, 2y-x=6 BET

この問題の解き方を教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

*107 次の2次曲線と直線は共有点をもつか。 共有点をもつ場合には, 接点・ 交点の区別をいえ。 また, その点の座標を求めよ。 (1) 4x2+9y²=36, 2x-3y=0 (3) x2-4y2=4, x+2y=1 (2)9x2+4y²=36, 2x+y=6 (4) y2=6x, 2y-x=6

この(1)について整理するとこの式になりx軸方向に0移動するまではわかったのですが、y軸方向に-1移動するのがわかりません。1ではないのですか？

98 次の2次曲線を平行移動して, 中心が原点になるようにしたときの曲線 の方程式を求めよ。 (1) 2x2-y2+2y+1=0 00 (2) 4x2-8y²-16x-16y=0 の式はどのような図形すか 土 ZO HIC II Zelt 五

【数3】写真の［考え方］で、a^2+b^2=1の形が (xyの係数)=0であると書かれているのですが、なぜそうなるのですか？🧐教えてください🙇‍♀️

182 第2章 式と田線 Check 例題 79 2次曲線の回転移動 介 88*** 2次曲線 F: 2x2-2√3xy+4y²=1について,次の問いに答えよ. 180 π (1) 2次曲線F を原点のまわりに 2007) だけ回転すると, (0 <0 ≤7/17) (2) ax2+by²=1の形になるという. このとき,0とα, b の値を求めよ。 曲線F上の点(x,y) について,カ=x2+y2 の最大値と最小値,お よびそのときの点(x,y) を求めよ. B0805H 考え方 (1) 複素数平面における, 原点のまわりの点の回転の考えを利用する. 回転後の曲線の式が ax2+by=1 の形, つまり, (xyの係数) = 0 となる回転角 9 を求める.

X^2＋Y^2＝r^4 を　x^2＋y^2＝(r^2)^2 にする計算過程を教えて欲しいです。 (r ^2)^2にしなくてもいいですか？

100 基本例題 62 媒介変数の利用 (軌跡) 00000 一 定円 x2+y2=r2 の周上を点P(x,y) が動くとき, 座標が(x-y2, 2xy) で ある点Qはどんな曲線上を動くか。 p.94 基本事項 2. 基本 6C W TO SOLUT! CHART OLUTION 媒介変数の利用 #RORS30 3= 2次曲線上の点は媒介変数表示が有効 HAMSTIPAL a 円の媒介変数表示 x =rcose, y = rsine を利用する。 点Qの座標 (X,Y) も0で表してから, 媒介変数0を消去して X, Y の関係式を 導く。 lepa 解答 ①x2+y2=2 から x=rcose, y=rsin0 (0≦0<2π) と表さ|円の媒介変数表示。 れる。 Qの座標を(X,Y) とすると X=x²-y²=r²(cos²0—sin²0) = - JUSS =r² cos 20 edit I=(1+ Y=2xy=2rcos 0·rsing) ** [=³(+1 =r2sin20 -X=0 cos A, よって X2+Y2=r*(cos220+ sin²20)=r, 0≦20<4π ゆえに,点Qは円x2+y2 = (r-2)2の周上を動く。 別解 Qの座標を(X,Y) とすると X=x2-y2, Y=2xy X2+Y2=(x2-y2)2+(2xy)²=x+2xy+y^ =(x2+y2)2=(n2)2 ²4 net 30 よって,点Qは円x2+y2=(m2) 2 の周上を動く。 - 1+1 Y=□sin △の形→ sin²+ cos²^=10) } (-x) x-50185 1+x $64 17x 所用。

二次曲線です。 二次曲線を平行移動したときの曲線の方程式の 解答は分数でも、展開してもどちらでもよいのでしょうか。 どなたか教えてくださいお願いします🙏🙏

れる曲 方程式 F(x, y) といい が導か y=√1 (円の上 基本例題 54 2次曲線の平行移動 (1) 楕円 4x2 +25y²=100 をx軸方向に-2,y 軸方向に3だけ平行移動した楕円 の方程式を求めよ。 また, その焦点を求めよ。 (2) 曲線 9x²-4y2-36x-24y-36=0 の概形をかけ。 p.98 基本事項 ① ②2 指針(1) 曲線F(x,y)=0をx軸方向に,y軸方向にだけ平行移動して得られる曲線の方 程式は F(x-p, y-a)=0 ここでは、与式でxをx- (-2), y をy-3 におき換える。 また、求める焦点は,もとの楕円の焦点をx軸方向に-2,y 軸方向に3だけ平行移動し たもの。 (2) 2次の項が9x2, -4y2 で, xyの項がないから, 曲線は双曲線と考えられる。 それを確かめるには、x2+px=x+ x + 1² ) ² − ( ² ) ² などの変形を利用し, 平方完成の要領 で、曲線の方程式を(xーカ)(yg)2 =1の形に直す。 A B 解答 (1) 求める楕円の方程式は ! 4(x+2)²+25(y-3) ²=100 すなわち 4.x2+25y2+16x -150y+141=01) また, 与えられた楕円の方程式は x² J² ① =1 9(x2-4x+4)-9・4 -4(y^+6y+9)+4・9=36 (x-2) (y+3) 2 22 3² 楕円 ① の焦点は, √52-22=√21 から 2点(√21,0),(-√21,0) 2) よって、求める 焦点は2点(√21-2, 3), (-√21-23) 2 (2) 与えられた曲線の方程式を 変形すると 次の方程式で -2 =1 yA 3 0 yA 5 2 3 H -20 3 -2 -2 (1 2 よって この曲線は,双曲線 x² 22 =1をx軸方向に 2, 32 y軸方向に-3だけ平行移動 したもので,その概形は図の赤い実線のようになる。 -6 4 5 x X 1) 標準形で表された2次曲 線を平行移動した曲線の方程 式には, xyの項は現れない。 2) まずもとの楕円の焦点を 調べ、それを平行移動した点 が求める焦点である。 <5>2から, 焦点はx軸上。 xx 軸方向にp, y 軸方向に だけ平行移動すると, 点(a,b) は (a+p, b+q), 曲線F(x,y)=0 は 曲線F(x-py-g) = 0 に移る｡ <中心は点 (0+2, 0-3), す なわち点 (2,-3), 漸近線は 2直線x=2-213-0. 3 x=2+2+3=0 となる。 99 2章 6 放物線、楕円、双曲線

この問題で、D＞0だけの条件で解けると思ったのですが、なぜyの範囲を考えなければならないのか教えて頂きたいです。 交点を持つ時点でyはこの範囲でしか有り得ないと思って解いていました。 分からない点が伝わりにくかったら申し訳ないです💦宜しくお願いいたします。

ER 111 楕円と放物線が4点を共有する条件 重要 例題 62 00000 % X 楕円x2+2y²=1と放物線y=2x² +α が異なる4点を共有するための,定数aの 12/16× 値の範囲を求めよ。 数学 基本 125 指針 2次曲線どうしの共有点の座標も, その2つの方程式を連立させ て解いたときの実数解であることに, 変わりはない。 楕円x2+2y2 = 1, 放物線y=2x2 + α はどちらもy軸に関して対 称である。よって、2つの曲線の方程式からxを消去して得られ るyの2次方程式の実数解で- √2 √√2 2 2 <y< の範囲にある1 つのyの値に対して、xの値が2つ、すなわち2つの共有点が 対応 することに注目。 ......... x2+2y2=1, 4y=2x2+αからxを消去して整理すると 4y2+4y-(a+2)=0 ...... ① √2 <y<√2 x=1-2y2≧0から 与えられた楕円と放物線はy軸に関して対称であるから、2つ 図の曲線が異なる4つの共有点をもつための条件は、 ① が _√2 <<- で異なる2つの実数解をもつことである。 2 √√2 2 ·Sys. 2 よって, ① の判別式をDとし, f(y)=4y²+4y-(a+2) とする と,次の [1]~[4] が同時に成り立つ。 [1] D>0 [2] √(√2) >0 [3] √(√2) >0 [4] 放物線Y=f(y) の軸について <-1² << ¹ 2 √2 √2 2 ****** [1] 12/1=2°-4・{-(a+2)}=4(a+3) D> 0 から a+3>0 よって [2] 20から2√20 ゆえに a<-2√2 [3]>0からa+2√2 > 0 a> -3 ...... ② a<2√2 [4] y=-/1/2 は-<-1/くを満たす。 √2 √2 2 2 ②~④ の共通範囲を求めて -3<a<-2√2 y -10 a <x²=1-2y2 を 4y=2x²+αに代入する。 + 左の解答では、 数Y=f(y) のグラフが 2次関 <y<2でy軸と √2 異なる2つの共有点をもつ 条件と読み換えて解いてい る (このような考え方は数 学Ⅰで学んだ)。 2y (検討) ① を4y²+4y-2=α と変形 し、 放物線Y=4y²+4y-2 と直線Y=α が異なる2つ の共有点をもつαの値の範 囲を求めてもよい。 2章 7 2次曲線と直線

数Ⅲ 楕円 添付写真のオレンジマーカーついてです。 見ていただきたい問題とその答えにマーカーを引いています 問題文が「方程式」と書いてあるから赤で書いた形式だとだめなのでしょうか？それとも赤で書いたものでも良いのでしょうか？ よろしくお願いします

基本例題 54 2次曲線の平行移動 (1) 楕円 4x² +25y²=100 をx軸方向に-2, y軸方向に3だけ平行移動した楕円 の方程式を求めよ。 また, その焦点を求めよ。 (2) 曲線 9x²-4y²-36x-24y-36=0 の概形をかけ。 p.98 基本事項 [12] 指針▷ (1) 曲線 F(x, y)=0 をx軸方向に, y 軸方向に Qだけ平行移動して得られる曲線の方 程式は F(x-ℓy-g)=0 ここでは, 与式でxをx- (-2), y をy-3 におき換える。 M また, 求める焦点は,もとの楕円の焦点をx軸方向に2,y 軸方向に3だけ平行移動し たもの。 (2) 2次の項が9x2, 4y² で, xyの項がないから, 曲線は双曲線と考えられる。 それを確かめるには,x+bx=(x+1/2)-(12) などの変形を利用し,平方完成の要領 で、曲線の方程式を(xp)_(y-g) =1の形に直す。 A B 解答 (1) 求める楕円の方程式は 4(x+2)^+25(y-3)^=100 すなわち 4x²+25y'+16x -150y+141=0¹) (9-42)² (1-3) ²= 1. 4 y₁ 25 2 ******** 1) 標準形で表された2次曲 線を平行移動した曲線の方程 式には、xyの項は現れない。 2) まずもとの楕円の焦点を それを平行移動した占 99 2章 放物線、楕円、双曲線

二次曲線の問題ですが、(2)の下線部のyの2乗＝xの2乗-1までは分かるのですが、それが0以上になるというのはどこから出てきたのか分かりません。 教えてください。

21 2次曲線と定点や定直線までの距離 点A(α, 0) から双曲線 ²-y^=1 (x>0) 上の点B(x, y) への距離 をsとする。 (1) s2 をaとx で表せ。 (2) s2の最小値を求めよ。 〈玉川大〉 解 TED (1) AB2=s2=(x-α)2+y2 ここで,y'=x²-1 だから s2=(x-a)+x²-1 = 2x²-2ax+a²-1 CLORPLOT K</2986. (2) 8²=2(x - 2)² + ²²-1 ・1 2 y'=x2-1≧0よりx≧1月 20 (i) 1/21(a≧2) のとき大値は60>[DFV+ (i) ya≧2 x=1で最小値(α-1)2 タグクラ 2 2434x=9 で最小値-1X2 18+4sin 2 2 (%* (ii) <1 (a<2) M& & 2 te 0<fee)ory=-x -1 (ii) ya<2 or > W NY (a-1)2 TO LOO O YA y=x/x2-y2=1 (B(x,y) 1 a 2 101 A(a,0) x singg Oa1 2 IC