二項分布の問題です。 黄色いマーカーの部分の範囲がどこから出てきたのかわかりません。 教えていただきたいです。 お願いします🤲

思考プロセス 例題 335 二項分布の平均と分散・標準偏左 (1) 1個のさいころを200回投げるとき, 1の目が出る回数をXとする。 Xの平均と標準偏差を求めよ。 (2) 確率変数 X の分布が二項分布 B(20, p) であり, Xの分散が5である とき,の値および X の平均を求めよ。 公式の利用 確率変数 X が二項分布 B(n, b) に従うとき E(X) = np, V(X) = np(1-p) p=□ Action» 二項分布 B(n, p) では,平均np, 分散 np (1-p)を用いよ 四(1) 確率変数 X は,二項分布 B(200, 1/18) に従うから 100 E(X)=2009 3 6 ← - (1) ではn= 200・ o(X) = 200-(1-¹). (2) 確率変数 X は二項分布B (20, p) に従うから V(X) = 20p(1− p) ここで,V(X)= 5 であるから 20p(1-b) = 5 出目 Ecos 4p2-4p+1 = 0 1 (2p− 1)² = 0 2 これは 0≦p≦1を満たしているから適する。 b = 1/2のとき,Xの平均は - よって p = 5/10 A (k = 0, 1, 3 .... 9 ² (8)9 (A) 2 ONA Point...二項分布の意味 二項分布の確率 n Cog", nCipgn-1, nCr pr q"-", bron X = k となる確率 P(X = k) l P(X = k) 200-k = 200 C ² ( 1 ) * (1 - 1) 50 * ² ..., 200) 5 103 6 av 200･ E(X)=20. 1/10 確認する。 ★☆☆☆ 1 6 10/10 6 求めたが 0≦p≦1 を満たす値であることを ... LA '', nCnp" は二項定理 5/10 3 NA 3* n-r (q + p)" = nCoq" +nC₁pq¹ +•••+nCr p q +•••+nCnp" の右辺の各項に等しい。 ここで, p+g = 1 であるから、上の式に代入すれば二項分布 の各確率の和が1に等しいことが確かめられる。 なお,B(n, b) の B は,二項分布を意味する binomial distribution の頭文字である。

151.4 これでも大丈夫ですよね？？

236 HERE 00000 基本 例題 151 3倍角の公式の利用 本文 ARCRA 半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さをaとし, 6=2 8200 らとす (1) 等式 sin 30+ sin200 が成り立つことを証明せよ。 (3) α の値を求めよ。 (2) cose の値を求めよ。 (4) 線分 AC の長さを求めよ。 身 18-30 53120.233 指針 (1) 30+20=2mであることに着目。なお, 0 を度数法で表すと 72°である。 (2) (1) は (2)のヒント (1) の等式を2倍角3倍角の公式を用いて変形すると COSAの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して、その方程式を解く (3) (4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい。 解答 (1)0=1/3から 50=2π このとき したがって (2) (1) の等式から sin00 であるから, 両辺を sin0で割って 3-4 sin²0+2 cos 0=0 3-4(1-cos20)+2cos0=0 4cos20+2cos0-1=0 ゆえに 整理して よって sin30=sin (2π-20)=-sin20 sin 30+ sin20=0 55 3sin0-4sin0+2sin@cos0=0 0 <cos0 <1であるから (3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により AB2 = OA2+OB²-20A・OB cose AC > 0 であるから cos0= a>0であるから a=AB= V (4) △OAC において, 余弦定理により AC"=OA2+OC2-20A・OC cos 20 =1²+1²—2·1·1. −1+√5 _ 5-√5 4 2 −1+√5 4 -√3+2.11 3+2・ AC= 30=2π-20 (*) 5-√5 2 =1+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1) =4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2 cose L (2) の(*)から。 -1+√5 5+√5 2 4 (1) 0=36° のとき, sin30= sin20 が成り立つことを示し 現が成り立つこ <50=30+20 3倍角の公式 sin30=3sin0-4sin'0 忘れたら, 30=20+0とし て, 加法定理と2倍角の 式から導く。 (3) B. B 212 1 CONDO a (4) A 1 05 0 D おめよく まめ ※加法 では ある 次 次C sin( cos(- tan 分母 t 上の sinza

151. θはどこの角？と思ったのですがどこからこの場所（3.の解答の図の場所）であると分かるのですか？

236 43 030000 基本例題 151/3倍角の公式の利用 半径1の円に内接する正五角形 ABCDEの1辺の長さをαとし,0=2. 080057 (1) 等式 sin 30+ sin20 0 が成り立つことを証明せよ。 (2) cose の値を求めよ。 り (3) αの値を求めよ。 (4) 線分ACの長さを求めよ。 時間 最 p.233 基本事項 指針▷ (1) 30+20=2πであることに着目。なお, 0 を度数法で表すと 72°である。 (2) (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形すると (1) は (2) のヒント {0} COSOの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して, その方程式を解く (3), (4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい｡ 解答 (1) 0から 50=2π このとき したがって (2) (1) の等式から sin 0 0 であるから, 両辺を sin0で割って 3-4sin20+2cos0= 0 3-4 (1-cos20) +2cos0=0 4cos20+2cos0-1=0 The ゆえに 整理して sin30=sin(2π-20)=-sin20 sin 30+sin 20=0 よって 3 sin 0-4 sin³ 0+2 sin 0 cos 0=0 0 <cos0 <1であるから (3) 円の中心を0とすると, △OAB において,余弦定理により AB²=OA²+OB²-20A OB cos 05(1-02005){( AC > 0 であるから AC= cos 0=1+√5 4 =12+12-2・1・1・ -1+√5-5-√5 4 a>0 であるから a=AB= (4) △OAC において, 余弦定理により AC2=OA2+OC2-20A・OC cos 20 30=2π-2050=30+20 5-√5 2 +2. −1+ 4 (*) =12+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1) =4-4cos20=4-(1-2cost)=3+2cos 2 -1+√5 (2) の(*)から。 5+√5 V 2 練習 11 ) 0=18° のとき, sin20 = cos30 が成り立つ 3倍角の公式 sin30=3sin0-4sin't 忘れたら, 30=28+0とし て, 加法定理と2倍角の 式から導く。 (3) BA (4) B C C 2751 a 1 1 0 D め ※加注 でに (1) 0=36°のとき, sin30= sin20 が成り立つことを示し, COS 36°の値を求め ある 次 sin co:

151.2 最後cosθを求める時にcosθの符号はどうかは確認するべきですが、なぜ0<cosθ<1と書くのですか？ cosθ=cos2π/5=72°だからですかね？ そうだとしたら θ=2π/5より0<cosθ<1 と書いていても大丈夫ですか？ （自分はそう記述しました。）

236 RE 08 0000 基本例題 1513倍角の公式の利用 2 半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さをaとし,0. 020005 (1) 等式 sin 30+ sin20 = 0 が成り立つことを証明せよ。 本 (2) cose の値を求めよ。 (4) 線分 AC の長さを求めよ。 - 山形 解答 tat-053p.233 指針▷ (1) 30+20=2πであることに着目。なお, 0 を度数法で表すと 72°である。 (2) (1) は (2) のヒント (1) の等式を2倍角・3倍角の公式を用いて変形すると cos 0 の2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して, その方程式を解く (3),(4) 余弦定理を利用する。 (4) では, (2) の方程式も利用するとよい。 (1) 01/23から50-2 56=2π よって 30=2π-20nia50=30+20 sin30=sin (2π-20)=-sin20 =0 nie-0200 sin30+ sin 20=0 このとき したがって (2) (1) の等式から sin00であるから, 両辺を sin0で割って 3-4sin20+2cos0=0 が成り (3)αの値を求めよ。 ゆえに 整理して 4cos20+2cos0-1=0 3-4(1-cos20)+2cos0=0 3sin 0-4sin0+2sin0cos0=0 0 < cos 0 <1であるから (3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により AB2 = OA²+ OB²-20A・OB cos 0 cos0= AC > 0 であるから 0. =1²+1²—2·1·1.−1+√5 _ 5-√5 --5-√5 2 4 AC= …..... −1+√5 4 a>0であるから a=AB= (4) △OAC において, 余弦定理により AC2=OA²+OC2-20A・OC cos 20 = 1²+1²-2·1·1·cos 20=2-2(2 cos² 0-1) 5-√5 2 =4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2cose - (2) の (*) から。 5+√5 2 -1+√5 -√3+2.-1 3+2･･ 4 FOOD (3) 3倍角の公式 sin 30=3sin 0-4sin' 忘れたら 30=20+0 とし て, 加法定理と2倍角の 式から導く。 a B B C 1 A 1 5+² Mile =1 基本事項 1 068 D D E [Y

(2)の問題で赤下線部のようになるのはなぜですか

E 3 140 三角関数の相互関係 思考プロセス (1) 0 が第3象限の角で, sin0 = - (2) <2πで, tan0=-2のとき, sinb, cose の値を求めよ。 公式の利用 「数学Ⅰ 「図形と計量」でも同様の例題を扱った。 Re Action 三角比 三角関数)の値は、 相互関係を利用せよ 例題 126 の範囲から, 三角関数の符号を決定することに注意。 例22であり tane=-2のとき, cos0 は正?負? 第 第□□象限 ]象限 第 [ | 象限 月 (1) sin²0 + cos20 = 1 より 2 9 cos²0 = 1-sin²0 =1-(-) = 2/ 25 cose<0 が第3象限の角であるから よって さらに coso tan= (2) 1+tan²0= よって sin cos 1 cos²0 cose = さらに, tanθ= 9 25 より 4 のとき, cose, tan の値を求めよ。 5 || sin coso - (-/-/ ) ÷ (-³/) - 4/1/2 cos20= 1+tan²0 1+(-2)² ここで、x<0<2πかつ tan0 = -2<0より, <<2πであるから cos > 0 3 5 √5 より sin = tancos = -2. = 1/ √√5 15 2 √5 |頻出 cos の符号は ya 第3象限 - 1 1 x tan の符号は ya D (D) cos の符号は y (+) 48 1 x 3 三角関数 関数 文 0 半 にある。 3 とき, si の , tar のとき (2) π FI Ī

122.1.イ 記述これでも良いですか？ また、記述問題だとしても（mod12で8^2 ≡4と8^4≡4より2k乗とした）解説の方法で解いて良いのですか？ （8^2 ≡4と8^4≡4より感覚的にはmod12で8の2k乗≡4は分かるけど2つの例だけで2k乗とおくのは証明が不足... 続きを読む

は る)。 D a うる。 る。 ) pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用・・・ 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 ア) 13100 9で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り [(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 (2) 類 自治医大] 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (mod m) のとき 3ac=bd (mod m) (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また、合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらくに なる。 ･･････ 注意 α” のα を指数の底という。 解答 (1) (ア) 134 (mod9) であり 4² 16 7 (mod 9), 4°=64=1 (mod 9 ) ゆえに |42100=4.(43)=4 (mod9) 特に,a=1 (mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2) ある自然数Nの一の位の数は, N10で割ったときの余りに等しい。 したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 よって したがって 求める余りは 4 13100=4100=4 (mod9 ) 4 自然数nに対し α"=6" (mod m) (イ) 2000=8 (mod12) であり 8°=8.4=8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって 82=64=4 (mod 12), 8'=(82)=42=4(mod 12) 82k4 (mod12) 20002000=820004 (mod12) したがって 求める余りは (2) 477 (mod10) であり 7³ 9-7=3 (mod 10), ゆえに よって 472011 720113 (mod10) したがって 47 2011 の一の位の数は 7 72 49=9 (mod 10), 7=92=1 (mod 10) 72011 (74) 502.73 1502.3=1-3=3 (mod 10) 00000 p.492 基本事項 [③3] 3 次のものを求めよ｡ 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4 に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 4の方がらく。 2000" の計算は面倒。 2000 12で割った余りは 8 であるから 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 47=10・4+7 2011=4・502+3 15245 (イ) 30003000 を14で割った余り 495 4章 19 発展合同式 る｡ る。 2) -1) でる たと は、 は, な 満 3進

7. このような記述でも大丈夫ですか？ （qC0=1なので書いていない点と、結末の文章が少し異なる点が解答例の記述と違うところです。） また、k=3qのときのみq≠0なのは 単にk=0だと「kは自然数である」という条件に反するからですか？ また、実際の記述文で 2^k=2^... 続きを読む

20 0000 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 kを自然数とする。 2 を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余 [類 千葉大 ] 100 2であることを示せ。 VESA 指針 2=7l+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, んが 3g, 3g+1, 3g+2 3で割った余りが 0, 1, 2 (gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2 の場合 け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 解答 kを3で割った商をg とすると, は 3g, 3g+1, 3g+23で割った余りは0か のいずれかで表される。 2である。 A [1] k=3g のとき, g≧1 であるから C₁k=3, 6, 9, 例えば,k=3gのときは, 2=239=8° であり, 8°= (7+1) として二項定理を利用する 2を7で割ったときの余りを求めることができる。 ...... 2″=23º=(23)°=8°=(7+1)^ よって,2を7で割った余りは1である。 [2] k=3g+1のとき, g≧0であり g = 0 すなわちk=1のとき g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2•8°=2(7+1)° 練習 = Co7°+ °C179-1 + +α Cg-17+Cg =7(Co70-1+,C,79-2+..+aCa-1)+1 (4) 7 2″=2=7・0+2 よって2を7で割った余りは2である。 [3] k=3g+2のとき, g≧0であり g=0 すなわちん=2のとき Q1のとき 2239+2=22・23º=4・8°=4(7+1)。 7.2(C79-1+,C179-2+..+,Cq-1)+2 (*) 10001 "(0[+1-)="|| 2"=22=4=7・0+4 _=7.4(C079-1+,C179-2++qCq-1) +4 別解 合同式の利用。 A までは同じ。 8-1 = 7・1であるから [1] k=3g (g≧1) のとき <二項定理 <k=1, 4,7, ****** は整数で, 2″ = 7× (整数)+1の形。 20+00001-1- +1000erer= よって2を7で割った余りは4である。 ANT [1]~[3] から,2* を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。 したがって2を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りは2である。 1 (1) (x³ (2) (x- (3) (x² 二項定理を適用する式の 数は自然数でなければな③4 [1] の式を利用。 2514 合同式については,改訂版チャート式基礎からの数学I+A p.492 ~ 参照 ← 8=1 (mod 7) 2k=239=8°=1°≡1 (mod 7) [2] k=3g+1 (g≧0) のとき g = 0 の場合 2=270+2 2k=239+1=892=1°•2=2 g≧1 の場合 esa [3] k=3g+2 (g≧0) のとき g = 0 の場合 24=70+4 2k=239+2=8%22=1%･4=4 g≧1 の場合 以上から2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 2 (1) 正 求め Je 08)000- |自然数nに対し CRAC ›3 (1) ( nCo (2) - 明 ないから, q=0 とg≧11 分けて考える。 (*) は 5 (1) の式を利用してい 5 k=2,5,8, Ex a=b (mod m) のとき α"=6" (mod m) (2) 〔類 一橋] C²1 EX5 (3) n ≧ (2) (3) (4) ④6(x HIN

至急‼️‼️‼️‼️‼️ 答えも解き方も分からないので教えていただけると嬉しいです💦

【6】 次の値を求めなさい. sin 10° sin 50° sin 70°

124.1 n≡1,3,5,7(mod8)とはどういうことですか？

D U う。 7 演習 例題 124 合同式を利用した証明 (2) on は奇数とする。 このとき,次のことを証明せよ。千葉大 ] (1218の倍数である。 (2)は3の倍数である。 3 10の倍数である。 決まった数の割り算(倍数)の問題では合同式の利用の方針の解答を示す。 指針▷ (1) は法8の合同式を利用し, (②)は法3の合同式を利用することはわかるが, (3) を法120 の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで, (1), (2) は(3) のヒントに従って n³_n=n(n²+1)(n²-1) は 8×3=24の倍数 考えると (2) から、3の倍数↑↑↑ (1) から8の倍数 120+24=5であるから、後は,n-nが5の倍数であることを示せばよい。 解答 (1) nは奇数であるから n n=1,3,5,7 (mod 8) このとき、 右の表から n²-1=0(mod 8 ) よって、nが奇数のとき, ²-1は8の倍数である。 (2) 2012 (mod3)のとき, 右の表から-n=0 (mod3) よって は3の倍数で ある。 n 1 3 19≡1 0 0 2 nº n²- 2 n n5-n 0 5 7 25=1 49=1 0 0 || (3) n5-n=n(n²+1)(n²−1) ここで,(1) から²-1は8の倍数であり,これと (2) から, ninは24の倍数である。 0 1 2 n n5 0 15 1 25=2 n n 0 0 0 ゆえに -n が 120の倍数であることを示すには,n-n が5の倍数であることを示せばよい。 n=0,1,2,3,4 (mod5)のとき, n-nを計算すると, 次の表のようになる。 0 1 0 15=1 0 って ns-n=0 (mod 5) したがって, nn は 8 かつ3かつ5の倍数, すなわち120 の倍数である。 3 4 2 25=2 35=3 45=4 0 0 0 演習 123 n は奇数であるから, 8で 割った余りが偶数になるこ とはない。 条件では, n は奇数である が すべての整数nについ ては3の倍数であ る。 120=3-5-8 5 を法として 35=34-3=1.3, 4°=4.4≡(42)2.4=1･4は M 3と5と8は互いに素。 の特集 TURAL で割り切れない奇数のとき, n-1は80で割り切れることを証明せよ。 5でも割り切れない整数のとき, n-1は240で割り切れ 497 4章 19 発展合同式 ･ある。 ある。 :-1) たと 数は, 2) 数で ある には, ①へ。 5 るな を満 つ。 5 る n進 いう。 14234

122.1.ア 記述これでも大丈夫ですか？？

は る)。 D a ある。 pk k 2 2 演習 例題 122 合同式の利用… 累乗の数の余り 合同式を利用して,次のものを求めよ。 (1)(ア) 13109で割った余り (イ) 20002000を12で割った余り[(イ) 早稲田大〕 (2) 472011 の一の位の数 [(2) 類 自治医大 ] p.492 基本事項 ③3 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (mod m), c=d (modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 法則 (1) 累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントである。 また, 合同式を利用して,指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに 注意 α” のα を指数の底という。 なる。 特に, an≡1(mod m) となるようなnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 ESTAH I 11 (2) ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。したがって, 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 ...... 4 自然数nに対し a"=6"(mod m) (ア) 13 4 (mod 9) であり 42=167 (mod 9), 43=64=1 (mod 9 ) ゆえに 41004 (43)33=4(mod9 ) よって13100=41004 (mod9) したがって 求める余りは 4 (イ) 20008 (mod 12) であり 8³ 8.4 8 (mod 12), ゆえに,kを自然数とすると よって したがって、求める余りは 4 477 (mod 10) であり 7³ 9.7 3 (mod 10), 羽 8²=64=4 (mod 12), 84≡(82)2=424(mod 12) 82k=4 (mod12) 20002000 82000=4 (mod 12) 72=49=9 (mod 10), 74=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.73=1502･3=1.3=3 (mod 10) 472011=72011=3 (mod 10) したがって 472011 の一の位の数は 3 CHARO-[0] 13-4=9であるから 13 と4は9を法として合同で あることに着目し, 4” に関 する余りを調べる。 132, 13 を9で割った余り を調べてもよいが, 一般に 42 43 の方がらく。 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 2000" の計算は面倒。 2000を12で割った余りは 8であるから, 2000 と8は 12 を法として合同。 したがって, 8" に関する余 りを調べる。 <47=10・4+7 2011=4・502+3 割った余り (イ) 30003000 を14で割った余り BST 495 4章 19 発展合同式 U る。 いる。 2) -1) でる にと は, は, う。 な 満 進 いう。