上から4行目〜5行目にてどのような"変形"をしたのか。過程が知りたいです。分かる方は是非ご教授お願いします。

pan+ (n の1次式) 型の漸化式 00000 a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 基本 116 指針▷ p.560 基本例題116 の漸化式 an+1=pan+gのgが定数ではなく,nの1次式となってい る。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。 CHART 漸化式αn+1=pan+ (n の1次式) 階差数列の利用 3章 解答 15 an+1=3an+4n ...... ① とすると an+2=3an+1+4(n+1) ①のnにn+1 を代入する と②になる。 ② ② ① から N an+2an+1=3(an+1-an) +4 an+1-an=bn とおくと 差を作り, n を消去する。 {bn} は{an}の階差数列。 bn+1=36n+4 2 BEST bn+1+2=3(bn+2) α=3a+4から a=-2 これを変形すると また b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8 <az=3a+4•1=7 よって, 数列{bn+2} は初項8,公比3の等比数列で bn+2=8.3-1 すなわち bn=8.3-1-2 ...... n≧2のとき n≧2のとき n-1 n-1 8(3-1-1) an= a₁ + (8.3k-¹-2)=1+ -2(n-1) an= a₁ + Σ br k=1 3-1 k=1 ...... =4.3"-1-2n-1・ 3 n=1のとき 4・3°-2・1-1=1 VE 初項は特別扱い α=1であるから. ③ はn=1のときも成り立つ。 したがって an=4.3" 1-2n-1 S-E- [参考] (*)を導いた後, an+1-an=8・3″-1-2に①を代入してan を求めてもよい。 700 HA S- (E-,d)) (*) 漸化式と数列

（3）の1/2-an+1=のとこってどうやったらそう言う発想が思いつくのでしょうか？経験でしょうか？これがあるから。とかコツとかあったら教えてください。

[an+1 2 を示せ. 徳島大 2an (1-an) のとき, 0 < an ≦ (3) 0 < α₁ ≤ 1⁄2, an+1 = An ≤ 1/1/21 an ≦ an+1 を示し lim an = =1/12 を示せ。 n→∞ 〔三重大〕 《方針》次の原則(例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。 また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです｡ 《解答》(1) x1 > √a と xn2+a-2√axn (xn - √a)² 2xn ......... ( Xn+1- -√a= 2.xn から xn> √a ⇒Xn+1> √a がいえるので,帰納法で x> <a (n = 1, 2, …..) がいえる。次に③から 1 Xn-√a Xn+1 - √a = = (xn - √a) 2 であり,ここで Xn-√a 0 < =1- ≤1 Xn だから √a xnk (3) y=2x(1-x)=-2(x-1/2) 2+ /1/2について, 0 < x≤ 1/2 ⇒0<y≤ 1/1/ である. ここでx=an とおくと y = an+1 となるので 0 < an ≤ ½ ⇒ 0 < an+1 ≤ がいえる。これと0<a≦1/2をあわせて 0 < an ≤ ½ (n = 1, 2, ...) 2 が成り立つ。また漸化式から Has (0<a, ≤ 1/29) an an+1 - an = an (1-2an) ≧0 だから an+1≧ an がいえる. さらに漸化式から an+1= 1/201 -(1 − 4an + 4an²) 2 = = 1/(1 – 2an)² = (1 - 2an) - 2an) ( 1⁄2 — an) < (1-2a₁) (-a) (an ≧ aより) BAKOS 1/1/20 an+1≦(1-241) (1212-an) であり,これをくり返し用い ると n-1 0 ≤ ½- an ≤ (1 - 2a₁)¹-¹ (-½ − a₁) となり、0<a≦1/23より0≦1-24 <1だから右辺はn→∞ のとき 0 に収束するので, はさみうちの原理より lim an = 1 2 U n→∞ CHOCO 27-4-20

特性方程式型の漸化式や隣接2項間の漸化式では特性方程式は1次式なのに、隣接3項間の漸化式の特性方程式ではなぜ2次式が出てくるのか教えて下さい…

<至急> 両辺を4^n+2で割り、 1/4bn+1=3/4bn +1 までは分かりますが、その後から解き方が分かりません 教えてください！！

a=4, an+1=12an+4"+2

1番の答えは2・3n乗-2となるんですが解けません。お願いします。

問16) 次の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。 (1) a = 4, ax+1 3a, +4 (k = 1, 2, 3, ニ (2) 6, = 2, bk+1 = b, + (2k -1)(k=1, 2, 3, ) ba + (2k -1) (k= 1, 2, 3,

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？その違いを教えてください🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1==B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,) (p.571 基本事項I(0,、 ニx+6を解くと, an+2-an+1=ー5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まないから, ② を用いて 2通りに 指針> まず,an+2 をx?, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く 572 O000 基本 例題123 隣接3項間の潮化式リ (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 指 2解を8とすると, αキBのとき が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると とにつ の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) 0より,数外{an++2am} は初項 a2+2a1=1,公比3の等比 (x+2)(x-3)=0から x=-2, 3 α=-2, B=3として福 an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 比数列であるから ant1-3an=(-2)"- 5a,=3"-1-(-2)"1 数列であるから ののを利用。 3-の から lan+1 を消去。 て Sさで 1 anミ 5 したがって San Gute TSaariに antに an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列 {an+1一an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-an=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=Q;+2(-5)*-!=1+ 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=&n+ +5 よって an+i+5am k=1 三 され 6 =an+5an-1 n=1を代入すると, (7-(-5)}=1であるから, 上の式 =……=0a+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5am=7を変形し an+1- 6 --ロー(-)) したがって an {7- から a,=1-(- 意

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項] 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-aan+1=B(an+1-aam), an+2-Ban+1=«(an+1-Ban) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 一5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-Cn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 (1) 漸化式を変形すると x=x+6 を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 Q=-2, B=3 として指針 ののを利用。 の, an+2+2an+1=3(an+1+2am) an+2-3an+1=2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 数列であるから 2より,数列{an+1-3an} は初項 a2-3a,=1, 公比 -2の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-のから は、一の an+1+2an=3"ー1 3DD 4 5am=3"-1-(-2)”-1 an+1 を消去。 したがって tュ= 3"-(-2)"1} (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 az-a:=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2 -5(an+1-an) イx+4x-5=0を解くと, (x-1)(x+5)=0から an+i= an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)ー!_1+ k- 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=an+1+5an よって an+1+5an k=1 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1 であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a2+5a=7 はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し, 7 an 6 an+1- したがって {7- から a,=ロー(-3) 練習 次の条件によって定められる数列 {an)の一般頂をめ上

(2)の漸化式はなぜ一つだけなんですか？2つではいけないんですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

572 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an 基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1) p.571 基本事項1 重要133 (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 2解を α, Bとすると, αキBのとき an+2-Can+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α(an+1-Ba,) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 A し,等比数列 {an+1+2an}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 解答 5野 x=x+6を解くと, (x+2)(x-3)=0 から x=-2, 3 α=-2, B=3 として指針 のAを利用。 (1) 漸化式を変形すると の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比 (2 数列であるから an+1+2an=3*ー1 3 bD 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1, 公比 -2 の等 比数列であるから an+1-3an=(-2)" 3-の から 5a,=3"-1-(-2)"-1 an+1 を消去。 したがって anミ (2) 漸化式を変形すると ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 a2-a1=2-1=1, 公比 -5 の等比数列であるから よって, n>2のとき an+2-Qn+1=ー5(an+1-an) (x°+4x-5=0を解くと (x-1)(x+5)=0から an+1-Qn=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=a,+2(-5)*ー1_1+ k- 別解 漸化式を変形して k=1 an+2+5an+1=an+1+ よって an+1+5an =an+5an-1 n=1を代入すると,(7-(-5)"}=1であるから, 上の式 =……=a2+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7 を変形し 4.=17-(-5)-) 7 an+1 6 an したがって から 4,=ロー(-

？している部分を教えてほしいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

がある。nを自然数とし, 縦2, 横れの長方形の部屋をこれらのタイ 2辺の長さが1と 2の長方形と 1辺の長さが2の正方形の2種類のタ入 例題305 場合の数と漸化式 特講 入。 入 例 (2) A,をnを用いて表せ。 n- をおくと An-1 具体的に考える 最初に をおくと2 An-2 最初に A。 2- を敷き詰める |をおくと。 最初に An-2 Action》 nを含んだ場合の数は, 最初の試行で場合に分けよ 開 (1) (ア) 最も左に長方形を, 長辺を縦にして並べるとき 残り縦2, 横(n-1)の部分の並べ方は An-1 通り イ) 最も左に長方形を, 長辺を横にして並べるとき 残り縦2, 横(n-2)の部分の並べ方は An-2 通り (ウ) 最も左に正方形を並べるとき 残り縦2, 横(n-2)の部分の並べ方は An-2 通り (ア)~(ウ)より (2) 0を変形すると 例題 295 An = An-1+2A月-2 An + An-1 = 2(An-1 + An-2) A,-2An-1 = -(An-1 -2An-2) 2より、数列{A士An}は初項 A2+ A, = 4, 公比2の等比数列であるから An+1 + A, =4·2"-1 二 2*+1 3より,数列{An+1 -2A,}は初項 A2-2A」 = 1, 公比 -1の等比数列であるから A+1-2A, = 1·(-1)"-1 = (-1)"-1 の-6より 特性方程式 x-x-2=0より x= -1, 2 3A, = 2"+1 -(-1)"-1 よって 三 n+1 練習305 1, 2を用いて n桁の自鉄粉たへノラ ム 血 のうと 3の間 -2 思考のプロセス

この特性方程式ってどうやって作るか教えてください🙏

C Cam ànn り立つ。 580 補足 事分数形の漸化式 a, p, q, r, s (pキ0, ps-grキ0) は定数とする。 ra,+s pa,+q a=a, an+= Aの特性方程式x= とする。 rx+s すなわち px?+(qーr)x-s=0 ® の2つの解をa, B px+q ran+s pan+q また,aはBの解であるから (rーpa)an+s-qa pan+q an+1-Q= ーQ= pa'+(q-r)a-s=0 よって s-qa= pa?-ra=a(pa-r) これを©に代入して (rーpa)a,+a(paーr)_(rーpa)(a,-a) pan+q an+1-Q= pan+q ここから先は,次の2通りに分かれる。 [1] α=Bのとき [2] αキBのとき (例題127参照) (例題128参照) [1] α=Bのとき アーpaキ0 であるから(下の注意参照),① の両辺の逆数をとると 1.pan+q- rー pa 1 E ーa(p+ 2ta) an+1-Q an-Q rー pa an-Q αは®の重解であるから g-r よって pa+q=r-pa Q=ー 2p (b+ーpe rー pa これをDに代入して 1 1 p rー pa 1 an+1-Q an-Q anーQ 1 =b, とおくと p rー pa bn+i=b,+ * 等差数列 を利用。 An-Q [2] αキBのとき (rーpB)(a,-B) pan+q O, Dにおいて,それぞれrーpaキ0, rーpBキ0であるから(下の注意参照), のと同様に、an+1-B= ® が成り立つ。 an+1-B_ァーPB. an-B rーpa an-a ®-0より %D an+1-Q rー pB -Cn rーpa anーB =Cn とおくと 等比数列 を利用。 Cn+1= an-Q 注意 Oにおいてrーpa=0 とすると,pキ0 であるから ミ p aはBの解であるから )+(q-r)ニーs=0 よって、qr-ps=0となり条件に反する。 Cananns+0も成り立つ。 ゆえに 同様に、アー