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次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
(1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an
基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1)
p.571 基本事項]
重要133
(2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0
2解を α, Bとすると, αキBのとき
an+2-aan+1=B(an+1-aam), an+2-Ban+1=«(an+1-Ban)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
A
し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3an} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, 一5→解に1を含む から, 漸化式は
an+2-Cn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。
解答
(1) 漸化式を変形すると
x=x+6 を解くと,
(x+2)(x-3)=0 から
x=-2, 3
Q=-2, B=3 として指針
ののを利用。
の,
an+2+2an+1=3(an+1+2am)
an+2-3an+1=2(an+1-3an)
Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比
数列であるから
2より,数列{an+1-3an} は初項 a2-3a,=1, 公比 -2の等
比数列であるから an+1-3an=(-2)"
3-のから
は、一の
an+1+2an=3"ー1
3DD
4
5am=3"-1-(-2)”-1
an+1 を消去。
したがって
tュ= 3"-(-2)"1}
(2) 漸化式を変形すると
ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 az-a:=2-1=1, 公比 -5
の等比数列であるから
よって, n>2のとき
an+2
-5(an+1-an)
イx+4x-5=0を解くと,
(x-1)(x+5)=0から
an+i=
an+1-Qn=(-5)”-1
x=1, -5
n-1
an=a,+2(-5)ー!_1+
k-
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=an+1+5an
よって an+1+5an
k=1
三
n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1 であるから, 上の式
=an+5an-1
=……=a2+5a=7
はn=1のときも成り立つ。
an+1+5an=7 を変形し,
7
an
6
an+1-
したがって
{7-
から a,=ロー(-3)
練習
次の条件によって定められる数列 {an)の一般頂をめ上
