a を α-1 となる実数の定数とし,xの3次関数
f(x)=2x3+3(a-1)x2-6ax-a3-20-1
の極大値をg(α) とする.
(1) g(a) を a を用いて表せ。 また, b=g (a) として, ab 平面上に b=g(α) の
グラフをかけ.
(2)(1)で求めた b=g(α) のグラフのa≧0 の部分とα 軸, 軸によって囲まれ
る図形の面積Sを求めよ.
【解答例】
(1)
f'(x)=6x2+6(a-1)x-6a
=6(x+a)(x-1)
(i) 4 <1 つまりα>1のとき, f(x)の増減
表は次のようになる。
I
-a
1
f'(x)
÷
0
-
0
+
f(x)
'
大
小
したがって
g(a)=(-a)
=-2a+3(a-1) a²+6a²-a³-2a-1
=3a²-2a-1
4>1 つまりa<-1 のとき, f(x) の増減
(ii)
表は次のようになる.
I
1
-0
f (x)
+
0
-
0 +
f(x) ,
大
極小
したがって,
g(a)=f(1)
=2+3(a-1)-6a-a³-2a-1
=-a³-5a-2
以上より,g(α)=
3a2-2a-1 (a> -1)
-a³-5a-2 (a<-1)
さらに,このとき
g'(a)=
6a-2 (a>-1)
-3a2-5 (a<-1)
a
-1
g'(a)
9(a)
-
-
0 +
(4)
よって、グラフの概形は次の図のようになる。
ただし, は除く)
b=-a³-5a-2
Ab
13
°
6-3a2-2a-1
|113
1143
a
(2) ≧0 のとき,g (a)=32-24-1
g(a)=0 とおくと, (3a+1)(a-1)=0
0より
このとき
a=1
Omas1 でg(4)=0
=-(3a²-2a-1) da
=-[a³-a²-a]
-
