(１)(2)で(1)はⅹ2、(2)はそのままなのがよく分かりません

×4 じゃないのか x2 + 12 22 287 (1) 曲線は楕円/3/27 =1である。 私の公式 よって =T s2x)dx (0)=7/7 -de V=2r5ydx=250(1-1)dx x372 = 18л\ 18√(1-x)dx=18x [x-12] 4 =18(2-3)-0-24 DI お決まりの夜 (2) 曲線は円 (x-2)2+y^=4である。 よって ressoydx=(x+4x)dx = 32 ・π 3 = 64 +2x-(+32)-0) 10 207 を整理して すなわち よって I<1であ したがって, る点を通り い。 .3 14 1)=C030 x = 1 1+tor 3 別解 求める体積は半径2の球の体積であるから |2つの曲 4 32 V= ・23 -do == π 2つの曲 3 0 (1) (2)y1 ら -2 0. 12 2 Gx 2 0 2 転させ ら離れ 立体の させて すなわ

この問題の（2）でh+1がhなら積分を微分したら積分の中身にhを代入したものになるのは分かるんですけど、なぜh+1でも成り立つかが分からないです。

重要 例題 179 量と積分 00000 で水を注いだときの、水の体積をVとする。 Vをんの式で表せ。 (2) (1)の容器に単位時間あたり2の割合で水を注ぐとき, 水の体積がとな (1) 曲線 y=ex をy軸の周りに1回転してできる容器に深さがんになるま った瞬間の水面の上昇する速さを求めよ。 CHART & SOLUTION (1) Vは回転体の体積。 π 重要 107 基本 168,176 y y=ex² 深さん→座標ではん+1であることに注意。 h+1 (2) 水面の上昇する速さ→ dh dt h グラフは y 軸に関 ん を で表すのは難しそうなので, dvdvdh して対称 = dt dh dt 0 x 利用して求める。 解答 (1) y=ex2 から よって x2=logy Ch+1 = x²dy=logydy V=π x [yl =πylogy-y 1h+1 11 =z{(n+1)log(n+1)-(n+1)-(log1-1)} ={(n+1)log(h+1)-h} (2)V=πのとき (1) から ん+1>0 であるから (h+1)log (h+1)−h=1 log(h+1)=1 dV dh+1 よって意 dh dh Non Shilogydy) ==лlog (h+1)=π 081 Slogxdx =xlogx-x+C 1 V dv_dv. dh dh 2 = -=2から s 00 dt dh dt dt π x

(2)でマーカーの式がどんな考え方でできるのか分かりませんでした。教えていただきたいです。

462 第7章積分法 Think 体積(1) 例題 244 (1) 底面積 S, 高さ AH がんの正四角錐について, AH 上に AP=x となる点Pをとり、点Pを通 り AH に垂直な平面でこの四角錐を切断する. このとき、切り口の正方形の面積S(x)と正四 角錐の体積Vを求めよ. (2) 放物線y=4-xとx軸とで囲まれた図形を S x軸のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ. 考え方 (1) 底面と切り口の正方形は相似である. Aを原点, AH をx軸の正の方向と すれば、積分区間が求めやすくなる. (2) 切り口は、右の図のように半径が A 2 H **** 4x2の円になる. -21 O 解答 (1) 切り口の正方形と底面の正方形は相似であり, その相似比はx: ん だから, (相似比) min S(x) S (面積比): 面積比は, S(x) : S=x: h H h 「より、 S(x) = S m n 右の図のように,Aを原点, AH をx軸の正の方向にとる m² 口と、求める体積V は, Ch V= v=SS(x)dx=xdx={{}\x³]=sh S1 積分区間は 0≦x≦h h23 (2) 右の図の斜線部分をx軸のまわりに 回転するから,求める体積 V は, CONCE (体積)=1/2x -x(底面積) YA y=4-x2 ×(高さ) xhi となっている. Focus V=ny'dx=n (4-x²)dxx 2 -2 =(x-8x+16)dx -2 =2m (x-8x2+16)dx) 5 8 2πx³-3x²+16x= [ =2x- x²+16x=5127360 偶関数の定積分 S -a x=2xdx (p.422参照) 非回転体の体積 まずは切り口の面積を式で表せ dsc

積分で体積を求める問題なのですが、（3）が分からないので教えて頂きたいです。なぜOR^2-OS^2で考えているのか分からないです。OQ^2-OP^2ではないのですか？

(3) 座標空間において、原点O(0,0,0), 点P(1, 0, 1), Q(2,1,0)を頂点とする三角形 OPQ を考える。 0≦t≦1のとき,点 (0, t, 0) を通り xz 平面に平行な平面Hと辺PQが交わる点の座標は ア +t,t, イ -t であり,平面Hと辺OQ が交わる点の座標は ウ .0)であ tt, 0 である。 I 三角形OPQ をy軸の周りに回転したときの回転体の体積は πである。 また,この回転体上の オ カキ ケ 点で,z軸上の点(0,0, 2)に最も近い点の座標は10, である。 ク コ

数学Ⅲの積分の応用です。 (1)(2)どっちもわかりません。 分かる人詳しい解説と正解を教えてください。

【4】 次の各問いに答えよ. (1) 曲線 y=e" と2直線 y=2,y軸に囲まれた部分をy軸のまわりに1回転して できる回転体の体積V を求めよ. V =π 1 log 2 - 3 (2) 曲線 C: L= x=cos2t y = sin't 4 [osts の長さを求めよ。

数学Ⅲです [4]がわかりません 詳しい解説と正解を教えてください。

【4】 次の各問いに答えよ. (1) 曲線 y=ex と2直線y=2,y軸に囲まれた部分をy軸のまわりに1回転して できる回転体の体積Vを求めよ. V=π 1 log 2 - 3 x = cos² t (2) 曲線 C: y = sin't の長さLを求めよ. L= 4

解答のやり方とは違って円柱を求めてそこからsinxの回転体の体積を引いたのですが答えが合いませんでした。何故でしょうか。教えて頂きたいです。

例 y=sinx (0≦x≦号)のグラフ,y軸,直線y=1とで囲まれ る部分をy軸のまわりに回転して得られる立体の体積V を求めよ. 《解答》 y = sin x について YA 1 ・ V = mx2dy = 10 dy ITX dx -y = sinx dx 0 =π となります。 ・ x cos x dx x² πT X 2 == π x2 sinx {[x² sin x] - 2x sin x dx} んでいるかか JC て、図をπ 4 2x sin xdxさせるときは きは、 HH 上下 πC 4 *{-2([x-cos x)] + cos x dx)} = x(-COS S 確認します と のように 3 に注意し - 2T

至急今日中にお願いしたいです 数3 積分の体積の問題です ここでh=x-x^2/√2を含む後がよく分かりません。 何故tがこの式になるのかなど詳しく教えて頂きたいです。

196 第6章|積分法の応用 研究一般の回転体の体積 空間における直線lの周りの回転体の体積 を求めるには,直線 l に垂直な平面で回転体 を切った切り口の面積Sの定積分を考えれば 5 よい。 1601209-10-xb 例えば,放物線y=x2と直線 y=xで囲まれた部分を,直線 y=xの周りに 1回転させてできる立体の体積Vを求めてみよう。 放物線と直線の交点は0(0,0), A(1,1)で,OA=√2 である。 0≦x≦1とし、放物線上の点P ( x, x2) から直線に垂線 PH を下ろし、 10 PH=h, OH=t とおく。 Hを通り, 直線 y=x に垂直な平面による 立体の切り口の面積をS(t) とすると √2 √2 ここで v=Sr² S(t) dt=πS,² h² dt h=x-x2 √2 t=√2x-h= 0 x+x2 15 また √2 ゆえに dt= dx √2 1+2x よって YA y=x2 A y=x H t a hP(x,x2) x 1 x 0 → √2 V=π = Jo (x-x2)1+2x √2 x 0 → 1 dx 2√(x²-3x+2x³) dx == π 2 Jo x3 3x5 + 5 3 = √2π 10 60

2曲線の交わりについて解説にこのような図があったのですがどのようにしてc1がc2からはみ出すことは無いとわかったのか教えて頂きたいです。

108 回転体の体積: 回転軸をまたぐ 1 2 曲線 C1 : y = cosx,C2:y=cos2x+a (a>0)が互いに接 している.すなわち, C1, C2 には共有点があり、 その点において共 通の接線をもっている。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) 正数αの値を求めよ. (2)0 <x<3mの範囲で2曲線 C1, C2 のみで囲まれる図形をx軸 のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ. [静岡大]

私はこのような解法で解いて答えが8/3と出ましたが正解は4/3のようです。どこが間違っているのか指摘していただきたいです。

B$⁰. 1 座標空間において, 原点O(0,0,0), 点P(1,0,1), 点Q (2,1,0)を頂点とする三 角形OPQをy軸のまわりに回転したときの回転体の体積を求めよ。 ( 上智大学) P(いかい。 x = そ = (0.00) Q (21.0) () (1-1)) OQ + AQP (2·1·0) + (-1.4-4() (ユニホ、二大大 (1+5S, 1-5) 2 So .5² +1 (1+5)^2+(15) +28+1+52-XS =25² +2 -2) + 1) - 11+5²-25) -2 (S²+1) +5 2(+1) dolm Its 2-1+S y=Sのでき 1-5 2-1 +5 (2) =1-5 3 め d