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考察
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応用 nを4以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。
例題
SEZ
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2n> 3n
考え方 n ≧4 であるから,次のことを示す。
[1] n=4 のとき, 不等式が成り立つ。
JBO
[2] k≧4 として,n=kのときの不等式 23k が成り立つと仮定
すると, 不等式 2k+13(k+1) が成り立つ。
証明 この不等式を (A) とする。
[1] n=4 のとき
(A)
右辺=3.4=12 ()>(右)
[1]
左辺 = 24 = 16,
よって, n=4 のとき, (A) が成り立つ。
[2]≧4として,n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち
2k > 3k
が成り立つと仮定する。
n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると
2k+1-3(k+1)=2.2-(3k+3)
>2.3k-(3k+3)
=3(k-1)>0
A> B
A-B0
2k3k より
k≧4 より
k-1>0
すなわち
2k+1 > 3(k+1)
よって,n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, 4以上のすべての自然数nについて (A)が成り
立つ。
第1章
数列
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