EX座標平面の第1象限にある定点P(a,b) を通り,x軸,y軸と,それらの正の部分で交わる直線
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lを引くとき,lとx軸, y軸で囲まれた部分の面積Sの最小値と、そのときのl の方程式を求
めよ。
[関西大]
HINT 直線lのx切片, y切片をそれぞれp, g (p> 0,g>0) とする。 S= 1
mapとPが直線ℓ上に
a b
ある条件 +
P q
直線lとx軸,y軸との交点の座標を,
それぞれ(p,0),(0, g) とすると,
p> 0, g>0であり,
題意の面積は
①から
=1を結び付ける。 (相加平均) ≧ (相乗平均) を利用するとよい。
直線l の方程式は
p q
点Pは直線ℓ上にあるから
S=1/pq
加
よって
両辺を平方して
等号が成り立つのは
x y
a
か q
1≧2,
+ =1
a b
+
p q
17 > 0, 1>0であるから(相加平均)≧(相乗平均)により
1≧
+ ≧2
2a
か
1
ab
pq
4ab
pq
a
か 9
ab
pq
26
=1, =1
q
①
p=2a,g=26
y₁
ゆえに
S
P(a,b)
p
pq≥2ab
のときで,これと①を連立して
x
←x>0,y>0のとき
x+y=2√xy
等号はx=yのとき成り
立つ。