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重要例題164 三角形の面積の最小値
|面積が1である△ABC の辺 AB, BC, CA 上にそれぞれ点D, E、Fを
AD:DB=BE:EC=CF:FA=t:(1-t)(ただし,0<t<1)となるよう
ささ来
EXEBCasenT o正N
ン
る。
(1) AADF の面積をtを用いて表せ。
(2) ADEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
基本18
指針> (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと
SAABC と△ADF は ZA を共有していることに注目。
1
△ABC=→AB-ACsinA(=1), -△ADF=-AD·AFsin A
2
(2) ADEF=AABC-(△ADF+ABED+△CFE)として求める。 g
Sはtの2次式 となるから, 基本形 a(t-b) +q に直す。
ただし、tの変域に要注意!
に注
niado=(09AA+ )S=2s
8nie (bo+dn)=
解答
マCD に特
(1) AD=tAB, AF=(1-t)AC
であるから
検討
一般に-a ア
Taie D
1-t
△ADF=;AD AFsinA
AB·AC"
△AB'C'
2
F
△ABC
AB·AC
=(1-t)AB-ACsinA
A
BtE
1-t
C
△ABC=;AB·ACsinA=1
C'
2
B
よって
AADF={(1-)AB·ACsinA
B
im3 G (*) 3t2-3t+1=3(fーt)+!
an=DA
=t(1-t)
(2)(1)と同様にして
ABED=ACFE=t(1-t)
よって
S=AABC-(△ADF+△BED+△CFE)
1
=1-3(1-t)=3°-3t+1=3{t-+
SA S=3f-3t+1
ゆえに,0<tく1の範囲において, Sは
1
t=; のとき最小値一
をとる。
(D. E, Fがそれぞれ辺 AB, BC, CAの中点のとき最小となる)
「最小
0
