どうして０以上になるのかわかりません

重要例題 71 2変数関数の最大 最小 のOO00 x, yを実数とするとき, xー4.xy+7y°-4y+3 の最小値を求め, そのとき のx,yの値を求めよ。 基本 57 CHARTO OLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式 (条件式という)がないから, この例題の xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず を定数と考えて、 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)+q に変形する。 そして、更に残った定数項q (yの2次式)も 基本形 6(y-r) +s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X,Yについて X°20, y"20 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数) は X=Y=0 で最小値ををとる。 解答 x-4xy+7y?-4y+3 ={(x-2y)?-(2y)+7y°ー4y+3 =(x-2y)°+3y?-4y+3 合ッを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf。 xを定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、結果は同じ。 7y-4(x+1)y+x'+3 2(x+1)? V +3 =x-29)"+{y-})+ 5 ール x, yは実数であるから +x+3 7 (x-2y)20, (y-)20 したがって, xー2y=0, y-- 2 =0 すなわち 3 4 x==で最小値をとる。 3'

下線部の部分、｢x、yは実数であるから｣とありますが、なぜ実数であると言い切れるのかが分かりません。 教えていただきたいです！

指針>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 1 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pを生 よって, Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 期 140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) (1) x, Yの関数P=x"+3y?+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6の最小値を求めよ。 なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 重 (1 (2 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大 指 このようなときは, 次のように考えるとよい。 2次式とみる。そして, Pを基本形a(xーカ)+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も, 基本形6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+by?+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=alx-(by+c)}°+d(y-r)°+sの形に CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 解答 (1) P=x*+4x++3y?-6y+2 =(x+2)-2"+3y-6y+2 =(x+2)°+3(y-1)-3·1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+230, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値-5 (まず,x について基 次に,yについて基 4P=aX?+bY?+sの形 (x+2)?20, (y-1)"No (実数)20 イx+2=0, y-1=0を x=-2, y=! ゆえに と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 = (x-(y-2)}?-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 全 イx?+●x+■の形に。 (まず, x について基料 イ次に, yについて基す 1Q=aX?+bY?+sの 4(実数)20 x, yは実数であるから (x-y+2)*20, (y+1)?20 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1 =-3, y=-1のとき最小値1 ゆえに 4最小値をとるエ。 y 連立方程式 の解。

この問題教えてください解き方教えてくださいお願いします

2変数関数の最大 最小 例題 72 実数x, yを変数とする関数 a=x°+10y?-6.xy+2.x-2y+8 の最小値を求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。

こういう問題の時、最後はx,yが実数だから…というふうに範囲を絞りますが、x,yが虚数というのは考えてはいけないんですか？

140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) O000 重要 例題 (1) x, yの関数P3x°+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (1) 関数 y= (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (2) -1Sxミ 値を求め、 なお,(1),(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大) 指針> (1)特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 I x, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをま封。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がt 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-p)°+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+bYy"+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}"+d(y-r)+s の形に刻 00 CHART 解答 (1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 ソ=t- t20の範囲 最小となる 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)?-2°+3y?-6y+2 てe=(x+2)°+3(y-1)?-3-1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 まず,x について基 よって (2) x-2x- t=(x S4次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの形 (x+2)°20,(y-1)。N0 | (実数)20 -1SxS1 x+2=0, y-1=0を x=-2, y=l yをtの ソ=t ①の範囲 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 ={x-(y-2)}-(y-2)°+2y°-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 =(x-y+2)°+(y+1)?-1?+2 8- t=-2 0S8+ x+●x+■の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2の ゆえに イ次に,yについて基 よって X, yは実数であるから よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 xーy+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと (x-y+2)20,(y+1)°z0 (実数)20 ゆえに よって x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18大 い 最小値をとるぁpo の解 ゆえに -1Sx= 以上から 連立方程式 0 ()(8 0)=(x 練習 X, yの関数 P=2x"+y?-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 練習 87(2) x, yの関数Q=x"-6xu+10 88 なか

こういう問題のとき、最後はx,yは実数だから…っていうふうにして範囲を絞っていくと思うんですけどx,yがなんで実数って確定するんですか？虚数ではダメなんですか？誰か教えてください！お願いします！

重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 「なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 OO00 重要 例題 (1) 関数 y= (2) -1Sxミ 値を求め。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大1 指針> (1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 Ix, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをます。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がtG 2次式とみる。そして, Pを基本形 a(x-b)°+qに変形。 2 残ったg(yの2次式)も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX°+by'+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xyの項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}\+d(y-r)+sの形に刻 紙 CHART) 解答 の(1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 -方の文字を定数とみて処理 ソ=tー 解答 t20 の範囲 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-2°+3y?-6y+2 re=(x+2)°+3(y-1)-3·12-2 = (x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 ゆえに 最小となる (まず,x について基料。 よって (2) x°-2x- t=(x 5S▲次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの税 (x+2)°20, (y-1)20 (実数)20 -1SxSI (x+2=0, y-1=0を割 x=-2, y=l yをtの y=t のの範囲 x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y°-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 =(x-(y-2)}-(y-2)°+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 38- t=-2 0S+ x+ x+ の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2 の ゆえに イ次に,yについて基 KQ=ar+b?"+s0% (実数)20 よって x, yは実数であるから よって, Qはx-y+2=0, y+1=0 のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと ゆえに よって (最小値をとるよ yの (連立方程式)の解 () 8 .0)=(c ゆえに x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18動大郎 -1Sx= 以上から (1) x, yの関数P=2x*+y°-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 87 (2) x, yの関数Q=x*-6xy+10u 練習 練習 88 なお 1) Dらと。

波線部の x.yは実数だから (x－2y)^2≧0となる理由が分かりません

OO 114 重要例題71 2変数関数の最大 最小 x, yを実数とするとき, x-4xy+7y°ー4y+3 の最小値を求め, のx, yの値を求めよ。 CHARTOSOI 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから, このに rとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。難しく考えす OLUTION yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。そして 基本形 a(x-p)。+q に変形する。 そして,更に残った定数項q(yの2次式) も 基本形 6(yーr)+s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X, Yについて X°20, Y'0 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数)は X=Y=0 で最小値kをとる。 と定 解答 yを定築 いて平方 inf. xを x-4xy+7y?-4y+3 料が ={(x-2y)-(2y)}+7y°-4y+3 e+uS =(x-2y)?+3y?ー4y+3 e+ 平方完成す 2 (2 +3 2 as=(x-2y)?+3{{y なるが,編 7y°-4( 3 -(x-29)"+3{=})+ · | 7ゾー ールー 5 3 おいてm3D0 と x, yは実数であるから (x-2y20, (yー=0 +20-330 したがって, x-2y=0, y- 2 =0 すなわち 7 3 +3 4 2 x=. y=で最小値号をとる。 20-3- 5 3 3 の の最大 天

この問題の（2）の解き方が分からないので教えて欲しいです！

44 条件つき2変数関数の最大·最小 x+y=4 のとき,次の問に答えよ。 K +y° の最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。 (2) x20, y20 とするとき, xのとり得る値の範囲を求めよ。また、 x+v° の最大値,最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。

教えてください

119 2変数関数の最大 最小 (4) 187 OOOO0 /食数, yがx+y=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を /発めよ。また, そのときのx, yの値を求めよ。 封>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x?+y?=2から文字を減らしても, 要例題 びそのとき 【類南山大) 基本 98 基本86 2r+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいようにy=t-2xとして yを消去し, x*+y?=2 に代入すると +(t-2x)=2 となり, xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ=→ D20 の利用。 よい。 3章 CHART 最大 最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用 SUAHO THAH C 「答 の tリ=tとおくと これをx+y°=2に代入すると y=t-2x 参考 実数 a, b, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 x°+(t-2x)°=2 5x-4tx+t?-2=0 e次 等式)。 2 が2次 を消去する 鯉すると このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は、 0の判別式をDとすると (ax+by)<(α+6)(x+y) [等号成立はay=bx] a=2, b=1を代入すると D20 ここで 4 D20から 2-10<0 =(-2t)-5(-2)=-(f-10)るケ ( x°+y?=2であるから (2x+y)°<10 よって> -10 <2x+y</10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして, 左と同じ答 えを導くことができる。 これを解いて ー/10 Sts/10 1 -4t 2t に+/10 のとき D=0で, ② は重解x= をもつ。 5 2.5 に土、10 のとき x=± 5 2/10 V10 のから y=± 5 から (複号同順) したがって 2/10 /10 のとき最大値/10 x= ソ= のとき最小値 -V10| 5 2/10 V10 x=ー y=ー 5 ガんでD30りのに D=0だけ使うのか!! 32次不等式

解答の8行目 なんでどっちもイコール0ってなんですか？

!全 民代記 9還 /] >変数関数の最大・最小 ーー ⑥ ネッを実数とするとき。 =ー4xyキ7アァーッ3 の最小値を求め直のを訂 の ッの値を求めよ。 人anr@科ororron 前の例題のような*とッの間の関係式(条件式 という)がないかちら ょとゞは互いに関係なくすべての実数値をとる変数 である。難しく考 ゞを定数と考えて, 式をとの 2 次関数とみる。そして 基本形 (の)"+g に変形する< そして, 更に残った定数項7(yの 2 次式) も 基本形 6ッーの*二s に変形する。 ここで, 次の関係を利用する。 実数マ。Yについて *=0, Yデ=0 であるから, ue 。cパ67ミキん (<>0. 6>0.んは定数) は > エニアー0 で最小値ををとる。 =((ー2)*ー(2人7アー4y+3 ー(メー2y)*十3アー4yッ3 wp テ( ーーは ィ*, は実数であるから (ヶー2y)*さ0 (- 人 細 ーす で最小値き をとる。

なぜこの問題は片方の文字を定数とみる必要があるのか教えて下さい

(USGeシニョ 3 6y+2 の最小 ト値を 93y 2 2 の をの y ときの% の人が (0) 大 重大 (2) 玖 く値をとる変数 あ なお, (1)、(2)では, 最小値をとる が は互いに関係な とを 基本形 cx-の9 に形 さ) も、 基本形(yーの * に変形 s (2>0, 5>0. は 定数) の形。 のとき最小値s をとる。 『 方針は(1) と同じ。@=g(zー| (p+oデ tx"ー6y+2 2 才人7 *+の30 ーー うり (yー1)"ー5 *, は実数であるから (x+2)守0 1 よって, はx+ 5 めえに メーニ2 2 (2) の=デー2oy+29"ー2ッ4z6 ー2(yー2z+2ー2y6 =なーー2がーー2) 222 (ばーy+2)*上YY+2y+2. ニーッ+2) すOキ1一12 =Cy+2TOTD1 ャ は実数であるから (xc よって, のはーット2=0. > テーッオ2=0,ッ1=0 を解くと ゆめえに 。 ニー3. ニー1のと