要 例題 105
連立不等式が整数解をもつ条件
00000
xについての不等式x2-(a+1)x+a<0,3x2+2x-1>0 を同時に満たす整
数xがちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。
[摂南大〕
基本 33.93 C 重要 103
CHART & SOLUTION
連立不等式 数直線を利用
不等式の左辺を見ると、 2つとも因数分解できる。
2-(a+1)x+α<0 は文字αを含むから、重要例題103と同様、αの値によって場合を分
けて解を求める。
解の共通範囲に含まれる整数値の考察には、数直線の利用が有効である。
解答
x2-(a+1)x+α<0 から
(x-a)(x-1)<0
←1
よって
X_1→-1
→a→-a
α <1 のとき a<x<1
a=1のとき
1
a -(a+1)
(x-1)2<0 から 解なし
この1<a のとき 1 <x<a
①
(x-1)2は常に0以上。
3x2+2x-1>0 から
(x+1)(3x-1)>0
よって
x-1.1/2<x
②
① ②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは
a < またはa>1のときである。
[1] a <1 のとき
右の図から, a<x<-1 の範
囲の整数が-2, -3, -4で
あればよい。
よって
[2] α>1 のとき
2-
①
-51-4-3-2-10:1
x
1
a
3
-5≦a<-4
右の図から, 1 <x<a の範囲
の整数が2,3,4であればよ
(1)
白い。
←13
-1 0 1 2 3
4 5
x
12
a
よって
4<a≦5
以上から
-5≤a<-4, 4<a≤5
11/23 <x<1には整数は含
まれない。
3章
a=-5 のとき,①は
-5<x<1 となり、
x=-5 が含まれず条件
を満たす。
a=-4 のとき, ① は
4<x<1 となり,
x=-4 が含まれず条件
を満たさない。
(p.61 ズーム UP 参照。
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