例題71、解き方を見ても分かりません。 丁寧に解説説明していただけたら幸いです

例 79 2変数関数 x,yが実数の値をとりながら変化するとき! P = x² − 4xy+5y² + 2x-2y+7Laki 思考プロセス 魚 円千 の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。 例題 77との違い 見方を変える fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。 lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。 nime KONZO5NES SOJORT ① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x2+(yの式)x+(yの式) (yを固定する) の最小値をyの式で表す。 ② yを変数に戻す ( v を動かす) Action>> 2変数関数の最大・最小は,1変数のみに着目して考えよ Pをxについて整理すると (= 24-09 =(yの式)の最小値を求める。 P=x2-4xy+ 5y2 + 2x - 2y +7 =x2-2(2y-1)x + 5y² - 2y + 7 ={x-(2x-1)}2-(2x-1)2 +5y2-2y +7 = (x-2y+1)2 + y^+ 2y + 6 = (x-2y+1)2 +(y+1)^-1 + 6 = (x-2y+1)2 + (y + 1)2 +5 - x, y は実数であるから (x-2y+1)^ ≧0, (y+1) ≧0 よって (x-2y+1)^2+(y + 1)2 + 5 ≧ 5 等号が成り立つのは のときである。 これを解くと したがって, Pは x-2y+1=0 かつ y +1 = 0 201 x = -3, y = -1 25. x=-3, y = -1 のとき 最小値 5 1:0A xについての2次式とみ 平方完成する。yは 定数とみて考える。 yを定数とみたときの最 ①･･小値m は m= = y2 + 2y + 6 dioni この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 ( 実数 ) ≧0 2 1030 Pの2つの()内が 0のとき, 最小値をとる。 (x−2y+1)² + (y+1)² +5 || || 0 y+1=0 より y = -1 これを x-2y+1 = 0 に 代入してx=-3 ■int…. 実数の性質 X,Y が実数の値をとりながら変化するとき, X' ≧ 0, Y2 ≧ 0 であるから, X2+Y2≧0が常に成り立つ。 また,X2+Y2=0 となるのは,X=Y=0のときに限られる。身 (実数) ≧0

解説お願いします！！

重要例題 122 2変数関数の最大 最小 (4) ● 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を [類 南山大〕 基本 10 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 条件式は文字を減らす方針でいきたいが Am.

解説お願いします！！

重 例題 要 実数x,yがx+2y²=1を満たすとき, ときのx,yの値を求めよ。 121 2変数関数の最大・最小 x+y2 の最大値と最小値, およびその 基本 針は同じ。

画像下線部のところで０以上であることを確認する理由がわかりません。

140 重要 例題87 2変数関数の最大 最小 (2) (1) x, yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。X (2) x, y の関数 Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ なお,(1),(2)では,最小値をとるときの x,yの値も示せ。 [(1) 類豊橋技科大,(2) 類摂 指針> (1) 特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる。 このようなときは,次のように考えるとよい。 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考え 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-)+q に変形。 2 残ったq(yの2次式)も,基本形 6(y-r)°+s に変形。 3 P=aX'+6Y*+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0 のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}\+d(y- 1 CHART条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて! 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-22+3y?-6y+2 =(x+2)°+3(yー1)?-3-12-2 =(x+2)°+3(y-1)?-5 ま A次 AP e yは実数であるから よって,Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 (x+2)°20,_(yー1)?20 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x?-2(y-2)x+2y?-2y+6 = {x-(y-2)}°-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y?+2y+2 =(x-y+2)?+(y+1)°-1?+2 2 2

解答の、t＝±√10のときD＝0で、〜の行から、なぜこの作業をするのかが分からなくなりました。教えてください。

実数x, yがx°+y°%=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x°+y°=2から文字を減らしても, 重要 例題119 2変数関数の最大 最小 (4) 187 OOの vがx+y"=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を [類南山大) 基本 98 2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2xとして yを消去し, x+y°=2 に代入すると x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式 になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ → D20 の利用。 31 1 CHART最大·最小 3Dt とおいて, 実数解をもつ条件利用 CHYBI 解答 2x+y=tとおくと これをx+y°=2に代入すると ソ=t-2x の 実数 a, b, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 等式)。 参考 x°+(t-2x)°=2 5x2-4tx+t°-2=0 整理すると このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は, 2の判別式をDとすると (ax+by)<(a+b)(x*+y°) [等号成立は ay=bx] D20 a=2, b=1 を代入すると 『ここで -=( 2=(-2t)-5(-2)=-(-10) 4 x°+y°=2 であるから (2x+y)°<10 D20から t2-10S0 よって これを解いて ーV10 Stい/10 -V10 <2x+y</10 (等号成立はx=2y のとき) このようにして, 左と同じ答 えを導くことができる。 -4t_2t をもつ。 三 t=±V10 のとき D=0 で, ②は重解x=- 2.5 5 2/10 V10 のから y=± t=+V10 のとき x=± 5 5 (複号同順) V10 とる。 2/10 xミ 5 のとき最大値、10 したがって y= 5 2/10 V10 のとき最小値 -V10 5 リミー x= 5

(x-y＋2)^2-(y-2)^2+2(y-1/2)^2+11/2のまま解いて、y-2 ≧0、y-1/2 ≧0➡️y ≧2でy＝2って解いていくと答えが合わないのですが何故ですか？

40 重要 例題87 2変数関数の最大 最小 (2) )x, yの関数 P=x"+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 2) x, yの関数Q=x°-2.xy+2y?-2y+4x+6の最小値を求めよ。 お, (1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 重 (1 (2 ((1) 類 豊橋技科大,(2) 類 摂南大]

解答と読んでもなんでこうゆう事をしなきゃいけないのとかが分かりません。教えていただきたいです。

重要 例題119 2変数関数の最大·最小 (4) OOOO0 宝数x, yがx°+y?=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。 [類南山大) 基本 98 指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x°+y°=2から文字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x として yを消去し, x+y?=2 に代入すると x+(t-2x)°=2 となり, xの2次方程式 になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 Rot 実数解をもつ→ D20 の利用。 ーバグのグ のグラフか CHART 最大·最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用 THAHO 解答 2x+y=tとおくと の 参考 実数 a, 6, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 等式)。 >x [S) ソ=t-2x これをx+y°=2に代入すると x°+(t-2x)°=2 5x2-4tx+t?-2=0 整理すると このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は, 2の判別式をDとすると [等号成立は ay=bx] D20 a=2, b=1を代入すると D ここで ニ=(-2t)-5(-2)=-(2-10)さるあり ( x°+y?=2 であるから 文モー (2x+y)°<10 よって>-E D20から t2-10<0 これを解いて ー/10 Sts/10 ち 10 <2x+y<V10 -4t _1 2t (等号成立はx=2yのとき) このようにして,左と同じ答 えを導くことができる。 t=+V10 のとき D=0 で, ② は重解x= をもつ。 5 2-5 t=±/10 のとき x=± 5 2/10 /10 のから y=± 5 (複号同順) したがって x= 5 2/10 10 のとき最大値、10 5 ソミ xミー 5 2/10 V10 のとき最小値 -V10 5 ま ソミー

❗️マークのところが全く分かりません わかりやすく解説お願いします

重要 例題118 2変数関数の最大·最小 (3) 186 O0000 x, yがx°+2y=1を満たすとき, ら*+y°の最大値と最小値, およびその のx, yの値を求めよ。 基本8 条件式を利用して, 文字を減らす方針でいく。このとき, 次の2点に注意。 [1] 計算しやすい式になるように, 消去する文字を決める。 日「 D.139 例題 86 は条件式が1次だったが、 2次の場合も方針は同じ。 ここでは,条件式をy=(1-x) と変形してx+yに代入するとよい。 [2] 残った文字の変域を調べる。 12 2 ー(実数)°>0 一 y=(1-x)で,y20であることに注目。 CHART 条件式 文字を減らす方針で 変域に注主意 解答 x°+2y°=1から yー(1-x) の 条件式は x, yともに2次 計算する式は ロy20であるから 1-x°20 -1Sx<1 のを代入すると ゆえに(x+1)(x-1)<0 よって 2 f(x)+ xが1次,yが2次 1 5 であるから, yを消去する しかない。 2 8 最大 ォャーー 1 1 2t4 2 -1 2 0 い xの2次式一 基本形に直す。 1 2 1 1 \2 最小 x 2 8 1 2 これをf(x) とすると, ② の範囲で f(x) はx= で最大値 5 x=-1で最小値 ー号をとる。 8 2 のから 2 のと ー --厚- ソ=+ 2 3 =土 16 イy=±(1-) x=-1のとき yパ=0 4 ゆえに ソ=0 したがって(x, y)=( 土)のとき最大値 5 V6 8 (x, y)=(-1, 0)のとき最小値 - - 2 116l 1|2 II

(2)の問題の解説について、なぜx≧0と-2x+8≧0の共通範囲を求めるのか分からないのですが、条件式からxtの放物線の範囲を求めたいから、という解釈で合っていますか？

基本 例題86 2変数関数の最大 最小 (1) OOO00 (1) 土2-3のDとき、 2x+y? の最小値を求めよ。 (2) x20, y20, 2x+y=8のとき,xyの最大値と最小値を求めよ。? [熊本商大) 基本 77 重要118 指針 (1)のr+ =? (2)の し と 日ロロ

この系統の問題の解法が見ても分かりません。教えて欲しいです。

基本 例題86 2変数関数の最大·最小(1) (1)x+2y=3 のとき, 2x°+y° の最小値を求めよ。 (2) x20, y20, 2x+y=8 のとき, xyの最大値と最小値を求めよ。 【熊本商 基本77)(重要118