Question

tkhsre

解答と読んでもなんでこうゆう事をしなきゃいけないのとかが分かりません。教えていただきたいです。

重要 例題119 2変数関数の最大·最小 (4)
OOOO0
宝数x, yがx°+y?=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。
[類南山大)
基本 98
指針>条件式は文字を減らす方針でいきたいが, 条件式x°+y°=2から文字を減らしても,
2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x として yを消去し, x+y?=2 に代入すると
x+(t-2x)°=2 となり, xの2次方程式 になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
Rot
実数解をもつ→ D20
の利用。
ーバグのグ
のグラフか
CHART 最大·最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用
THAHO
解答
2x+y=tとおくと
の
参考 実数 a, 6, x, yにつ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
等式)。 >x [S)
ソ=t-2x
これをx+y°=2に代入すると
x°+(t-2x)°=2
5x2-4tx+t?-2=0
整理すると
このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は,
2の判別式をDとすると
[等号成立は ay=bx]
D20
a=2, b=1を代入すると
D
ここで
ニ=(-2t)-5(-2)=-(2-10)さるあり (
x°+y?=2 であるから
文モー
(2x+y)°<10
よって>-E
D20から
t2-10<0
これを解いて
ー/10 Sts/10
ち 10 <2x+y<V10
-4t _1
2t
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして,左と同じ答
えを導くことができる。
t=+V10 のとき D=0 で, ② は重解x=
をもつ。
5
2-5
t=±/10 のとき
x=±
5
2/10
/10
のから y=±
5
(複号同順)
したがって
x=
5
2/10
10
のとき最大値、10
5
ソミ
xミー
5
2/10
V10
のとき最小値 -V10
5
ま
ソミー

Answer 1

はっぱ

字汚くて申し訳ないですが、参考になれば嬉しいです

tkhsre

なぜ最大値が√10で、最小値が－√10だと分かるのですか？

はっぱ

tのとりうる範囲が-√10から√10までと求まったので、この中で1番小さい値は-√10で、1番大きい値は√10です。だから最大値と最小値が分かります。

例え話をすると、「今月のお小遣いは3千円だよ」と言われたら、使えるお小遣いの最大値は3千円ですよね、3001円や4千円は無いので使えないですよね、ということです。

tkhsre

なるほど。
それでは何故、条件式に2x+yを代入すると最大値最小値を求めることができるのですか？
(すいません、質問攻めになってしまって、。2変数関数の最大最小の問題をあまり解いたことがなく、解答までの道筋が完全に理解出来ていないので、。)

はっぱ

そもそも、条件式によりxとyの範囲が限定されるので、同じxとyの式である2x+yの範囲も限定されます。範囲を絞りたいから代入する、という感じです。2変数のとき文字で置くと、その置いた式は定数になります。すると2変数の扱いづらい式から1変数の2次式にできて扱いやすくなります。だから文字で置きます。

質問に答えられているでしょうか…？？

tkhsre

範囲が絞りたいの範囲っていうのは、最大値最小値を求めるのに使う範囲ですか？いわゆる、定義域ですか？

はっぱ

最大値最小値を求めるのに使う範囲のことです

tkhsre

定義域とはまた違うものなんですか？

はっぱ

定義域を主に関数における変域を指すと考えるのであれば、それとはまた違うと思います。

tkhsre

なるほど、。
ともかく、2つの式から1つの式にして、最小最大を求める時の範囲を求め、その範囲の値をその1つの式に代入してxを求め、またそのxを次は条件式に代入してyを求め、というのが解き方の流れですかね？

はっぱ

そういうことです！

Answer 2

きらうる

例えば、条件がy＝x²であるのであれば、これを2x+yに代入することができるので、代入して最大最小を求めます。
しかし今回の問題は、x²+y²＝2という条件がありますが、これをx＝やy＝とするとルートが出てきてしまい、少し面倒になります。
そこで、2x+yの値は実数となるので、これを=tとおき、2x+y=tを式変形して、x²+y²＝2に代入するという方法を取っています。

tkhsre

なるほど。
その後はどうゆうことが書いてあるのですか？

きらうる

2x+y=t　とおくと、y＝t-2xとして、x²+y²＝2に代入します。
x²+(t-2x)²＝2

これをxの2次方程式とみることで、
5x²-4tx+t²-2＝0
と書き替えることができ、xは実数という条件がありますので、D≧0から、tの範囲を絞り込みます。

ここまでの説明はわかりますでしょうか。

tkhsre

わかりました！