不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, ・① LA HILC ax+by = c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解) を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-xo)=-b(y-yo) [x-xo = bk, ly-yo-ak (kは整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

modで解いたのですが、どう頑張っても答えが出ません！間違っている箇所を指摘していただきたいです！

00000 28 基本例題 123 1次不定方程式の整数解の利用 12で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 CHART SOLUT OLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+by=cの形に変形...... ! 条件を満たす自然数は,整数x,yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め、それから題意の自然数を 求める。 解答) 求める自然数をnとすると, n は x,yを整数として,次のよう に表される。 n=12x+1,n=7y+4 両辺に3を掛けると よって 12x+1=7y+4 すなわち 12x-7y=3 ① x=3,y=5は, 12x-7y=1の整数解の1つであるから 12・3-7・5=1 n=7y+4 12・9-7･15=3 ② ① ② から 12(x-9)-7(y-15)=0 すなわち 12(x-9)=7(y-15) 3 12と7は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは x-9=7k すなわち x = 7k+9 (kは整数) 基本 122 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k + 109 84k + 109が3桁で最大となるのは, 84k + 109≦999 を満たす が最大のときであり, その値は k=10 このとき n=84.10+109=949 αを6で割った商を Q 余りをrとすると a=bg+r まず、①の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 の整数解を求める。 を求めるためには, x,yの一方が求まれば い｡ 〒84k + 109≦999 から k≤ 999-109 84

x.yを整数とすると、nがマイナスになってnが自然数であるという条件を満たさなくなりませんか？ x.yは自然数とした方がよくないですかね？ 解説よろしくお願いします！

216 基本例題 128 1次不定方程式の整数解の利用 12で割ると余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本127 CHART & SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+by=cの形に変形 条件を満たす自然数は, 整数 x, y を用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 そこで、 まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め、 それから題意の自然数を求める。 答 求める自然数をnとすると, n は x,yを整数として,次のよ うに表される。 n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 すなわち 12x-7y=3 x=3, y=5は, 12x-7y=1 の整数解の1つであるから 12・3-7.5=1 両辺に3を掛けると 12.9-7·15=3 ①②から 12(x-9)-7(y-15)=0 すなわち 12(x-9)=7(y-15) 12と7は互いに素であるから, ③を満たす整数xは x-9=7k すなわち x = 7k+9 (kは整数) ****** ****** と表される。 n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 したがって 84k+109が3桁で最大となるのは, 84k + 109999 を満た すんが最大のときであり, その値は k=10 このとき n=84・10+109=949 RACTICE 128 11で割ると余り、5で割る 上の解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め それから③を導いて解いた。 しかし、例えば x2, y=3 が①の整数解の1つで あることに気がつけば、これを用いて解いてもよい。 本間のように,x,yの係数が比較的小さいときは,整 数解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場 合もある｡ αを6で割った商をQ, 余りをrとすると a=bq+r ◆まず、①の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 の整数解を求める。 このときy=12k+15 x,yの一方が定まれば nも決まる。 84k + 109≦999 から 999-109 ks. 84 = 10.5...... 12・27･3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0

どうしてx=-29k+6となるのですか？

次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 63x+29y=1 (1) 63x+²y=1 - 0) 63x = 1 (mod2a) 5x = 1 (mod29) = 30 5と29は互いに素なので (2) 73x X=6 よってx=2%+6 (2) ①に代入して1827/2+378+292/ 29g = -18271-377 J=-63 12-13 (1²2) [x=251 +6 [J=-631-13 (1262)

例題253⑵で255のやり方をやるのはダメですか？ 初見でどっちかがいきなり出てきたら、どっちがどっちの解法ってわかるんですか？ 不定方程式です。

第8章 整数 例題 253 方程式の整数解 (1) 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 2x-3y=21 考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x = 3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であることを利用する。 (2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある. 解答 (1) 2x-3y=21 より, 2x=3(y+7) ・・・・・ ① ・① 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな Focus (2) 52x+539y=19 る. したがって, kを整数として, x=3k とおける. これを①に代入すると, 2×3k=3(y+7) 2k=y+7 より, よって 求める整数解は, y=2k-7 よって, (2) 539=52×10+19 x=3k, y=2k-7 (kは整数) 2 (別解) 2x-3y=21 より, y=-x-7 yは整数より,xは3の倍数となる. したがって, x=3k (kは整数) とおけ。 y=2k-7 x=3k, y=2k-7 (kは整数) これを与えられた方程式に代入すると, 52x+ (52×10+19)y=19 整理すると 52(x+10y)=19(1-y) ...... ① 5219は互いに素であるから, x+10y は19の 倍数となり,kを整数として x+10y=19k, すなわち, x=19k-10y 52×19k=19(1-y) これを①に代入すると 52k=1-y より, y = -52k+1 よって, 求める整数解は, x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数) xが3の倍数でないとき yは整数にならない。 xとyの係数の大きい方 の数 539 小さい方の乱 52 で割る. y=-52k+1 より、 x=19k-10y =19k-10(-52k+ =539k-10

この160(1)でx=0,y=25の組と考えて x=4n y=-3n+25　 と答えても合っていますか？

の互除法 3 不定方程式 ★★ 160 方程式 3x+4y = 100 について,次の問に答えよ。 ついて、次の間に (1) この方程式を満たす整数x,yの組をすべて求めよ。 (2) この方程式を満たす自然数x,yの組はいくつあるか。

不定方程式のマーカー部分の計算方法が分からないです🙇🏻‍♀️💦

346 第9章 整数の性質 練習問題 8 (1) 次の不定方程式の整数解をすべて求めよ. (i) 13x+7y=1 (ii) 43x+35y=3 (2) 11で割ると余り 8で割ると7余る整数のうち,1000に最も近い ものを求めよ. 精講 不定方程式 ax+by=c(a,bは互いに素)の整数解を求める手順は こうなります。 ax+by=c となる整数の組(xo,yo) を求める (特殊解). ②辺々を引き算して, a(x-x)=-by-yo) の形を作る. ③ α(x-x)は6の倍数であり, a とは互いに素なので, x-x はる の倍数である. よって, x-x=bn (nは整数) とおける. ここから、 x=x+ón, y = yo-an が求められる (一般解). 特殊解さえ求められれば,あとは定形の 「作業」で解くことができます. 解答 (1)i) 13+7y=1 ......① 1 ①の特殊解の1つは (x,y)=(-1, 2) である. これを①に代入して, 13・(-1)+7・2=1 ...... ② ① ② より 13(x+1)+7(y-2)=0 13(x+1)=-7(-2) ...... ③ 13=7x1+6 7=6x1+1 より 1=7-6×1 =7-(13-7×1)×1 =13×(-1)+7×2

⑴です。 このようにして解くのはバツになりますか？ 数1A 整数の性質です。

次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 2x-3y=21 T 考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x=3 (y+7) と変形し、 2と3は互いに素であることを利用する。 (2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある. 2x=3(y+7) ..... ① 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな る。 したがって, kを整数として, x=3k とおける. これを①に代入すると, 2×3k=3(y+7) 解答 (1) 2x-3y=21 より, 2k=y+7 より, よって 求める整数解は, y=2k-7 (2) 52x+539y=19 x=3k, y=2k-7 (kは整数) (2x-3y=21 より, よって, (2) 539-52x10+19 2 y=3 x-7 yは整数より,xは3の倍数となる. したがって, x=3k(kは整数) とおけ, y=2k-7 x=3k, y=2k-7 (kは整数) これを与えられた方程式に代入すると, 52x+(52×10+19)y=19 整理すると, 52(x+10y) =19(1-y) ..... ① 5219は互いに素であるから, x+10y は19の 倍数となり,んを整数として, x+10y=19k, すなわち, これこれを①に代入すると, つまり52k=1-y より, よって、求める整数解は, x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数) x=19k-10y 52×19k=19(1-y) y=-52k+1 122001 0012 xが3の倍数でないとき、 yは整数にならない. xとyの係数の大きい方 の数 539 を小さい方の数 52 で割る. y=-52k+1 より、 x=19k-10y =19k-10(-52k+1) =539k-10

数Aの一次不定方程式の整数解の問題です。 xとyを式で表すときにkという同じ文字を使うことができるのはなぜですか？

558 基本例題 135 1次不定方程式の整数解 (1) 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 9x+5y=1 指針 ax+by=1 (2) 19x-24y=1 (宝木)) まず,1組の解を見つける (1) x,yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は何でもよいが,例えば 1次不定方程式の整数解を求める基本 [1] 係数が大きいxに 1, -1 などを代入し,yが整数となるようなものを調べる (1)9x+5y=1・ ① 解答x=-1,y=2は①の整数解の1つである。 よって 9・(-1)+5・2=1 ①②から すなわち 95は互いに素であるから, x+1は5の倍数である。 ゆえに,kを整数として, x+1=5kと表される。 ③に代入して すなわち よって, 解は ② 9(x+1)+5(y-2)=0 ア 9(x+1)=-5(y-2)・ 3 9.5k -5(y-2) 9.5k=-5(y-2) [2] 9x を移項して 5y=1-9x この右辺が5の倍数となるようなxの値を探す 。 (2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。 このようなときは,互 除法を利用して見つけるとよい。 解答下の注意 を参照。 TRO y-2=-9k x=5k-1, y=-9k+2 (kは整数) (2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。 よって 19(x+5)-24(y+4)=0 00000 すなわち 19(x+5)=24(y+4) 19と24 は互いに素であるから x+5は24の倍数であ る。ゆえに,kを整数として, x+5=24k と表される。 ④ に代入して 19･24k=24(y+4) すなわち よって解は 注意 19 と 24 で互除法を用いて p.557 基本事項 2 演習 140 y+4=19k x=24k-5, y=19k-4 (kは整数) 1組の解はどのようにと ってもよい。 例えば, x=4, y=-7でもよい。 a,bが互いに素で, an が6の倍数ならば,nは 6の倍数である。 (a,b, nは整数) PAT 【下の注意 参照。 |19x-24y=1 19・(-5)-24・(-4)=1 を辺々引いて 19(x+5)-24(y+4)=0

1枚目の写真の(1)についての質問です。 2枚目の写真が模範解答で、3枚目の写真が自分の回答なのですが、この自分の回答でも正解とみなして良いのでしょうか？ (最初に見つける整数解の違いにより最終的な答えが異なっている状況です。)

160 方程式 3x+4y=100 について,次の問に答えよ。 (1) この方程式を満たす整数x,yの組をすべて求めよ。 (2) この方程式を満たす自然数x,yの組はいくつあるか。