Question

ヒヨコ！

例題253⑵で255のやり方をやるのはダメですか？
初見でどっちかがいきなり出てきたら、どっちがどっちの解法ってわかるんですか？
不定方程式です。

第8章 整数
例題 253 方程式の整数解 (1)
次の不定方程式の整数解を求めよ.
(1) 2x-3y=21
考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x = 3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であることを利用する。
(2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある.
解答 (1) 2x-3y=21 より,
2x=3(y+7) ・・・・・ ①
・①
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな
Focus
(2) 52x+539y=19
る.
したがって, kを整数として, x=3k とおける.
これを①に代入すると,
2×3k=3(y+7)
2k=y+7 より,
よって 求める整数解は,
y=2k-7
よって,
(2) 539=52×10+19
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
2
(別解) 2x-3y=21 より, y=-x-7
yは整数より,xは3の倍数となる.
したがって, x=3k (kは整数) とおけ。
y=2k-7
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
これを与えられた方程式に代入すると,
52x+ (52×10+19)y=19
整理すると
52(x+10y)=19(1-y) ...... ①
5219は互いに素であるから, x+10y は19の
倍数となり,kを整数として
x+10y=19k, すなわち,
x=19k-10y
52×19k=19(1-y)
これを①に代入すると
52k=1-y より, y =
-52k+1
よって, 求める整数解は,
x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数)
xが3の倍数でないとき
yは整数にならない。
xとyの係数の大きい方
の数 539 小さい方の乱
52 で割る.
y=-52k+1 より、
x=19k-10y
=19k-10(-52k+
=539k-10

255 方程式の整数解 (3)
不定方程式 57x+13y = 1 の整数解を求めよ.
例題
考え方 例題 254 のように特殊解を求めたいが, 係数が大きいため実際に値を代入して求める
のは困難である. そこで, ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める.
FLOSGE
解答 方程式 57x+13y=1 ・･････ ① の係数 57 と 13 について
ユークリッドの互除法を用いる.
57=13×4+5 より,
13=5×2+3 より
5=3×1+2 より
3=2×1+1 より,
⑤に④を代入して,
Focus
3-(5-3×1)×1=1
3×2-5×1=1
これに ③ を代入して,
57-13×4=5 ......
②
13-5×2=3
∙3
5-3×1=2 ......④
3-2×1=1
( 13-5×2)×2-5×1=1
13×2-5×5=1
これに ② を代入して,
3 不定方程式
13 ×2-(57-13×4)×5=1
したがって, 57 × (−5)+ 13×22=1
①⑥ より
x+5=13k,すなわち,
57(x+5)+13(y-22)=0
57(x+5)=13(22-y) ...... ⑦
57と13は互いに素であるから, x+5は13の倍数となる.
したがってんを整数として,
これを⑦に代入すると,
57k=22-yより,
よって、求める一般解は
x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数)
058 86 A
.⑥
y=-57k+22
x=13k-5
57×13k=13(22-y)
***
JURS 303
x=-5, y=22 が
①の解の1つ
与えられた方程式の係数が大きい場合は,係数について
ユークリッドの互除法を利用して考える
463
第8章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

253(2)と255のやり方は本質的に同じなのでどちらでもいいです。253(2)ではxとyの係数が大きいので
解の一つを出すのが難しいですが、できるのでどちらでもいいですよ。

ヒヨコ！

ありがとうございます！！！