Question

カルパスの海戦

modで解いたのですが、どう頑張っても答えが出ません！間違っている箇所を指摘していただきたいです！

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基本例題 123 1次不定方程式の整数解の利用
12で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。
CHART SOLUT
OLUTION
1次不定方程式の整数解の利用
条件から ax+by=cの形に変形......
!
条件を満たす自然数は,整数x,yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。
そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め、それから題意の自然数を
求める。
解答)
求める自然数をnとすると, n は x,yを整数として,次のよう
に表される。
n=12x+1,n=7y+4
両辺に3を掛けると
よって
12x+1=7y+4
すなわち
12x-7y=3
①
x=3,y=5は, 12x-7y=1の整数解の1つであるから
12・3-7・5=1
n=7y+4
12・9-7･15=3
②
① ② から
12(x-9)-7(y-15)=0
すなわち
12(x-9)=7(y-15)
3
12と7は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは
x-9=7k すなわち x = 7k+9 (kは整数)
基本 122
と表される。
したがって
n=12x+1=12(7k+9)+1=84k + 109
84k + 109が3桁で最大となるのは, 84k + 109≦999 を満たす
が最大のときであり, その値は
k=10
このとき
n=84.10+109=949
αを6で割った商を Q
余りをrとすると
a=bg+r
まず、①の右辺を1とし
た方程式 12x-7y=1
の整数解を求める。
を求めるためには,
x,yの一方が求まれば
い｡
〒84k + 109≦999 から
k≤
999-109
84

n = 12x+1
n = 7y +4₁
12x + 1 = 14 + 4.
7 7 = -12x + 3 = 0 [mod 7)
5x = 3 (mod ?)
2x = 3 (med 7)
* x = 3 [mod")
qkx s
h=12(7k+3)x1
= 84% +2²7 2 499
<999
R=11 αr ²², n= 96/

mod

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

5x≡3(mod7)までは正しいです。
しかし、次の行で左辺が2xとなっていますが、
正しくは-2xです。
なぜなら、5x=7x+(-2x)≡-2x(mod7)だからです。
よって, -2x≡3(mod7)
この式と5x≡3(mod7)より、
x=5x+(-2x)+(-2x)≡3+3+3≡9≡2(mod7)
すなわちx≡2(mod7)
x=7k+2となりn=12(7k+2)+1=84k+25
となりk=11のとき、n=949となります。

Answer 2

かきつばた

5x≡3(mod7)から2x≡3(mod7)じゃなくて、
-2x≡3(mod7)だね
まぁ詳しくは写真みて

カルパスの海戦

とても分かりやすかったです！ありがとうございます！