赤の下線部分の解説お願いします、、！

求め 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (2) x10+x5+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 ⑥55 (1) x” を (x-2)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとす ると,次の等式が成り立つ。 x"=(x-2)^Q(x)+ax+b ...... ① 両辺に x = 2 を代入すると すなわち b=2"-2a ①に代入して 2"=2a+b ② x"=(x-2)^Q(x)+ax+2"-2a =(x−2)²Q(x)+a(x−2)+2″ =(x-2){(x-2)Q(x)+α}+2" よって x"-2"=(x-2){(x-2)Q(x)+α} ここで, xn-2"=(x-2)(x"-1+xn-2.2+....‥.+2-1 であるか ら 両辺に x=2 を代入すると a=n・2n-1 すなわち ②から したがって 求める余りは +2n−1=(x-2)Q(x)+α 2n-1+2n−1+･･････+2n-1=a xn-1+xn-2.2+･･･ b=2"-2×n・2n-1=(1-n)2" n・2"-'x+(1-n)2" 別解(1) 二項定理を利 用。 x={(x-2)+2}" |=(x-2)"+nCm-1(x-2)^-12+ ......+ C₂(x-2)²2-2 +nCi(x−2)21+2" =(x-2)^x (整式) +n・2^-1x+(1-n)2" よって, 求める余りは n.2"-lx+(1-n2" ←27-1 は n個ある。 ←2.2n-1=2"

問2で、Cは必ずしも直線lと極大点で接するわけでも無いような気がするのですが、なぜ回答のようなグラフを導けるのか教えて下さい！

練習 曲線 y=-x*+4x+2x²-3x を C, 直線y=9(x+1) を l とする。 247 (1) 曲線 Cと直線ℓ は異なる2点で接することを示せ。 (2) 曲線と直線ℓ で囲まれた図形の面積を求めよ。 (1) 曲線 Cと直線l の方程式からyを消去すると -x+4.x3+2x2-3x=9(x+1) ...... ① ゆえに x-4.x-2x2+12x+9= 0 左辺を因数分解すると (x+1)²(x−3)²=0 よって, 方程式 ① が異なる2つの2重解x-1,3をもつか ら,曲線Cと直線ℓ は異なる2点で接する。 (2) 図から, 求める面積は S',{9(x+1)-(-x*+4x+2x²-3x)}dx =S(x-4x-2x²+12x+9)dx … (*) 13 2 = [³²-x² - ²/3x³ + 6x² + 9x] ³₁ -1 -1 = 243-(-1) 5 - (81-1)-1/23(27-(-1)} 1° = 15 C 園 IS. (x-a)(x-B) dx=12/10 (8-α)の証明 30 (x-a)(x-β)'=(x-a)(x-a+α-β)² Ax 1 -4 -2 12 91 -1 5 -3 -9 1 -5 3 9 01 -1 6 -9 1 -6 9 0 +6(9-1)+9{3-(-1)} 244 56 512 -80- -+48+36= 5 3 15 注意 定積分の計算は,(*)の後,次のようにも計算できる。 f(x-a)(x-B)dx {3-(-1)}³_512 S(x+1)*(x-3)dx= 30 = 12310 (B-α)の利用。 接する重解 ←-1≦x≦3の 9(x+1) -(-x*+4x3+2x²-3x) =x²-4x3-2x2+12x+9 =(x+1)^(x-3)^≧0 =(x-a)^{(x-a)^2+2(x-a)(a-B)+(a-B)2} =(x-a)¹+2(a-B)(x-a)³+(a-B)²(x-α)²

赤の下線を引いた部分がなぜそうなるのか教えて下さい！(＞＜)

練習 3次方程式x+3ax²+3ax+α²=0が異なる3個の実数解をもつとき、 定数αの値の範囲を求め ③ 219 よ。 f(x)=x+3ax²+3ax+α とする。 3次方程式 f(x)=0が異なる3個の実数解をもつから, 3次関 数 f(x) は極値をもち,極大値と極小値が異符号になる。 f'(x)=3x2+6ax+3a=3(x2+2ax+a) f(x)=x³+3ax² +3ax+a³ とする。 f'(x)=0の解 は求めることができない から,f'(x)=0 の解をα, f(x) が極値をもつから, 2次方程式 f'(x) = 0 は異なる2つの B (α<B)として, 解と係 実数解をもつ。 数の関係を利用。155 ゆえに,x2+2ax+a=0の判別式をDとすると D>0 D ここで -=a²-1•a= a(a−1) 4 よって, a(a-1) > 0 から a<0, 1 <a ① このとき, x2+2ax+α=0の2つの解を α, β(α<β) とすると, f(x) の増減表は次のようになる。 x a f'(x) + 0 f(x) 極 ... 20 + 極小 > ゆえに f(a)f(B) <0 ここで, 解と係数の関係により a+β=-2a, aβ=a よって 割ると,商はx+α, 余りは2α(1-a)x+α² (a-1)であるから f(x)=(x+a)(x2+2ax+a)+2a(1-a)x+a²(a-1) =(x+a)(x2+2ax+a)+a(a-1)(a-2x) f(a)f(B)=a(a-1)(a-2a) xa (a-1)(a-2β) =a^(a-1)^{a²−2(a+B)a+4aB} =a²(a-1)²(a²-2-(-2a)-a+4.a} =a²(a-1)²×a(5a+4) ①のとき, a' (a-1)'>0であるから, f(a)f(B) <0より a(5a+4) <0 |HINT ゆえに1<a<0. ② 5 // <a<0 ① ② の共通範囲を求めて 東習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 ■20 (1) x>1のときx+3>3x 数学Ⅱ 213 また,f'(a)=f'(B)=0 を利用するために、f(x) を 1/13f'(x) f(a)(B)の次数を 下げるため。 極大値 a (2) 3.x+1≧4x3 y=f(x) B x 極小値 ←x=αで極大値f(α), |x=βで極小値f(β) を とる。 ←f'(a)=f'(B) = 0 から a²+2aa+a=0, B2+2aß+α=0 ←a+b=-2a, aβ = a 6章 練習 微 分

赤の下線部分の条件は、なんのための、何を意味する条件なのか教えて下さい！！

練習 f(x)=x-3x2-9x とする。 区間 t≦x≦t +2 におけるf(x) の最小値m (t) を求めよ。 ©214 f'(x)=3x2-6x-9 =3(x+1)(x-3) f'(x)=0 とすると x=-1,3 f(x) の増減表は右のようになる。 -1 f'(x) + 0 |極大 5 f(x) 7 3 0 + |極小| -27

この問題において、同じ平面上にあるはずなのにs +t＝1が使えないのはなぜですか？

練習 4点A(0, 0, 2), B(2, -2, 3), C(a, -1, 4), D(1, a, 1) が同じ平面上にあるように,定数 64αの値を定めよ。 [弘前] AD=(1, a, -1), AB=(2, -2, 1), AC=(a, -1, 2) 3点 A, B, C は一直線上にないから, 点 D が平面ABC上にあ るための条件は,AD=sAB+tAC となる実数 s, tがあること である。 ゆえに よって (1, a, -1)=s(2, -2, 1)+t(a, -1, 2) 2s+ta=1 -2s-t=a. ②, s+2t=-1 ②x2+③ から ゆえに ② から S= ..... 1-2a 3 ①, -3s=2a-1 (3) ③ t=-2s-a=-2・ 1-2a 3 a= -a-l 3 = -a-1:3 a-2 3 2......⑤ ←AB=kAC を満たす 実数には存在しない。 ←ベクトルの相等 -4s-2t=2a +) s+2t=-1 - 3s =2a-1

3番で、まるで囲んだ部分がなぜn -1にならないのか教えて下さい！

ネズミなどの一部の野生動物を除き, 野生動物を無断で捕獲することは 「鳥獣保護法」によって 禁じられている。 例えば, スズメやメジロなどを捕まえて飼育することは違法行為であり,農作物 に被害を与えるイノシシなどを捕獲することについても、事前の許可と「狩猟免許」 が必要になる。 ある野生動物 Sは誕生,死亡を含めて、1年間の個体数推計値の自然増加率は120% である。す なわち、ある年末の野生動物Sの個体数推計値が約100 万頭とすると、捕獲を行わないと翌年末の 個体数推計値は約120万頭になる。 野生動物 S の 2020 年末における個体数推計値は約 200 万頭であった。このとき、以下の問いに 答えよ。 240 (1) 野生動物 S の捕獲を禁止した場合, 2021 年末における個体数推計値は約 アイウ万頭に なる。 200×1.2= 220 野生動物Sによる農業被害が甚大なため,2021年初めから毎年 20 万頭ずつ捕獲を行うことを264c 検討した。 2. (i)(1)より, 野生動物Sの捕獲を禁止した場合の2021 年末の個体数推計値は約 アイウ万頭 になるが, 20万頭を捕獲した場合, アイウ万頭から20万頭を除くと考えることにする。 2021 年初めから毎年20万頭ずつ捕獲を行った場合, 野生動物Sの2021 年末の個体数推計値 は約 エオカ 万頭になる。 20. 以下の設問 ((), (3)では, 野生動物の捕獲を行った場合の個体数推計値を,この考え方 と同様にして計算するものとする。 220×1.2-20:244 22 244×1.2-20=272.8 コサ万頭である。 (i) 2024 年末における野生動物Sの個体数推計値は約 キクケ 220 X 1.2 490 307.36 2728×1.2-20= ACUM () 野生動物Sの個体数推計値が初めて500万頭を超えるのはシスセソ 年中である。なお, 必要ならば 10g102=0.3010, 10g103= 0.4771 を用いてよい。 2 2 5 2「 (3) 2024年末に野生動物Sの個体数推計値が 180 万頭以下になるためには,2021年初めから毎年3 少なくともタチ 万頭ずつを捕獲しなくてはならない。 ただし,1万頭未満の数は切り上げて 答えよ。

別解の方で解きたいのですが私の解いてる別解の方法の解説が途中までしか書いていなくて、答えが合いません(´°̥̥̥̥̥̥̥̥ω°̥̥̥̥̥̥̥̥｀)どこで間違っているのか教えて欲しいです！！

(5) 次のように定められた数列{C} がある。 C1 = 0, Cn+1=3Cn+2n+1. 3C+2n+1.n (n=1,2,3, ...) 数列{cn}の一般項を求めよ。 = ヌ Cn= n ノ n+1

この写真のグラフを書けという問題なのですが、やり方が分からないので、教えて下さるとありがたいです

(3) y=x²-2|x| CHO

両辺に│ω│をかけているのですが、なぜ│i-2ω│=│ω│では無いのでしょうか？

·~| -2-1- 12w-il=1w| W

練習17の対数の性質3の証明のあっているかどうか分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ

③対数の性質 1 = a⁰ a=aであることから。 loga a = 1 } loga 1 = 0 対数の性質 a>oa#1,M>0₁ N>O AY # 1. loga MN = loga M + loga N 2. loga M = loga M - loga N 3.1oga MR² = loga M 人は実数 ※2において、とくにM=-1のときは [1の証明] loga M = &, loga N=12332 M²=a²² N= ad よって したがって 1 よって したがって [3の証明] loga = -loga N 練習7/上の証明にならって、性質2、3が成り立つ証明せよ [20] MN = a²aª = a loga MN = p + 9 = laga M + loga N p+9 loga M = +₁ loga N=9x7 z X ) M= a ²², N=aª M = a ² = a ²-2 loga = -d = lega M - loga N Toga M1=22732 M = a ²² Fiz Mk=akk = k·k it=tiz loga M² = R. D = kloga M